4.6 KiB
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一、题目描述
输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。
输入格式
第一行包含整数 n 和 $m$。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。
数据范围
1≤m≤n≤10^5
，
1≤数列中元素≤10^9
输入样例：
5 3
4 5 1 3 2
输出样例：
1 2 3
二、堆的数据结构
堆是一个完全二叉树:除了最后一层结点以外，上面的每一层都是满的。最后一层的结点是从左到右排布的。
小根堆：每一个点都是小于左右儿子的,所以根节点就是树中最小值.或者叫小顶堆。(递归定义)
存储方式：全新的存储方式，用一维数组来存。因为是完全二叉树，所有数据的下标是有规则可以找到的。
位置x, 左儿子2x , 右儿子2x+1
下标是从$1$开始的，从$0$开始不方便，因为$2x$还是自己没法玩。
三、堆操作的基本方法
down(x)往下调整 比如现在堆已经维护好了，我们要把头结点的值
1
3 4
3 5 4 5
假设把头结点值换一下，换成6，
6
3 4
3 5 4 5
现在就不是一个小顶堆了，因为$6$不比$3，4$小啊，所以需要对$6$进行调整，向下移动。
在$3，4，6$中找到一个最小值，然后交换3，6 （$down$操作时，如果当前结点大于左右儿子，与左右儿子中小的进行交换）
3
6 4
3 5 4 5
然后继续在$6,3,5$中找最小值，继续交换3,6
3
3 4
6 5 4 5
OK,移动完毕！
up(x)往上调整 比如现在堆已经维护好了，我们把$5$修改为2
3
3 4
3 5 4 2
就需要找出4,2 ，交换4,2 （与父结点对比，如果比父结点小，则交换自己与父结点）
3
3 2
3 5 4 4
继续查询$3，2$，发现在2<3,继续交换
2
3 3
3 5 4 4
不再交换，$OK$，移动完毕。
四、手写一个堆（小根堆）
1、插入一个数
heap[++sz]=x; //在一维数组最后一个位置填充x
up(sz); //将最后一个元素不断上移
2、求最小值
heap[1]
3、删除最小值
heap[1]=heap[sz--]; //就是把尾部最后一个元素替换掉头元素，然后sz--
down(1); //然后再down(1)就行了
4、删除任意一个元素
heap[k]=heap[sz--];
down(k);
up(k); //其实只能执行一个，因为大了向下走。小了向上走嘛
5、修改任意一个元素
heap[k]=x;
down(k);
up(k);
两个基本操作,这两个操作结合起来就能完成上面五个操作。
down(x) ---> 向下调整
up(x) ---> 向上调整
五、如何高效创建堆
六、完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int sz;
int heap[N];
void down(int u) {
int t = u;
if (u * 2 <= sz && heap[u * 2] < heap[t])t = u * 2;
if (u * 2 + 1 <= sz && heap[u * 2 + 1] < heap[t])t = u * 2 + 1;
if (u != t) {
swap(heap[u], heap[t]);
down(t);
}
}
void up(int u) {
while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u]) {
swap(heap[u / 2], heap[u]);
u /= 2;
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> heap[i];
sz = n;
for (int i = n / 2; i >= 1; i--) down(i);
while (m--) {
printf("%d ", heap[1]);
heap[1] = heap[sz--];
down(1);
}
return 0;
}