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一、题目描述
一个数的序列 $b_i$，当 b_1<b_2<…<b_S 的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a_1,a_2,…,a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_{i1},a_{i2},…,a_{iK})，这里$1≤i_1<i_2<…<i_K≤N$。
比如，对于序列$(1,7,3,5,9,4,8)$，有它的一些上升子序列，如$(1,7),(3,4,8)$等等。
这些子序列中和最大为$18$，为子序列$(1,3,5,9)$的和。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。
注意:最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列$(100,1,2,3)$的最大上升子序列和为$100$，而最长上升子序列为$(1,2,3)$。
输入格式 输入的第一行是序列的长度$N$。
第二行给出序列中的$N$个整数，这些整数的取值范围都在$0$到$10000$(可能重复)。
输出格式 输出一个整数，表示最大上升子序列和。
数据范围
1≤N≤1000
输入样例：
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例：
18
二、题目分析
计算最长上升子序列长度的时候，我们定义$f[i]$为以第$i$个元素结尾的最长子序列的长度，并且采用双重循环的方法，固定每一个数字$A$时，向前查找可以衔接到哪个数字$B_i$后面,如果A>B_i,则尝试接在$B_i$后面，可以获取到一个可能的最长子序列长度L_i,所有的$L_i$ $PK$一下MAX,就是答案。
本题不再要求计算$LIS$的最长长度，而是计算总和，和上面的思考方式一样，但状态表示有了变化：
状态表示
f[i]:以第$i$个元素结尾的最大子序列和
也采用双重循环的方法，固定每一个数字$A$时，向前查找可以衔接到哪个数字$B_i$后面,如果A>B_i,则尝试接在$B_i$后面，可以获取到一个可能的最大子序列和S_i,所有的$S_i$ $PK$一下MAX,就是答案。
综上所述，此题与$LIS$还是有区别的，并不是$LIS$的扩展，而是$LIS$问题的变形，不是在求解$LIS$问题基础上再增加点什么就能解决，而是采用了类似的思路。$LIS$问题有三种解法:
- 朴素版动态规划 可以继承思想，变形解决
- 贪心+二分 已经无效，不能继承，思路不同
- 树状数组
三、$O(n^2)$实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 最大上升子序列和
int n;
const int N = 100010;
int a[N];
int f[N];//以第i个元素结尾的最大子序列和
int res;
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i] = a[i]; // 最大上升子序列（个数）这里是1,此处是a[i]
for (int j = 1; j < i; j++)
// 最大上升子序列（个数）这里是加1,此处是+a[i]
if (a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + a[i]);
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d ", res);
return 0;
}
### 四、$O(nlogn)$实现代码(树状数组版本)
五、关键字
- 魔改
LIS - 最大上升子序列和