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##[$AcWing$ $895$. 最长上升子序列 ](https://www.acwing.com/problem/content/description/897/)
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### 一、题目描述
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给定一个长度为 $N$ 的数列，求数值 **严格单调递增的子序列** 的长度最长是多少。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $N$。
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第二行包含 $N$ 个整数，表示完整序列。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大长度。
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**数据范围**
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$1≤N≤1000，−10^9$≤数列中的数≤$10^9$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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7
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3 1 2 1 8 5 6
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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### 二、动态规划
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**状态表示**
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$f[i]$表示从第一个数字开始算，以$a[i]$<font color='red'><b>结尾</b></font>的最长的上升序列长度。(以$a[i]$结尾的所有上升序列中属性为**最长**的那一个)
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**状态计算**
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$$\large \left\{\begin{array}{l}
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f[i] =1 & 默认值，前面没有比i小的，以a[i]结尾的最长个数是1 \\
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f[i] = max(f[i], f[j] + 1) & 0 \le j<i \ \& \ a[j]<a[i]
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\end{array}\right.
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$$
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**时间复杂度**
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$O(n^2)$
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n;
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int a[N], f[N];
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int res;
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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f[i] = 1;
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for (int j = 1; j < i; j++)
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if (a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
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res = max(res, f[i]);
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}
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printf("%d", res);
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return 0;
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}
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```
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### 四、输出路径
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```c++
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/*
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测试用例：
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7
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3 1 2 1 8 5 6
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答案：
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4
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1 2 5 6
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*/
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```
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#### 额外记录的信息
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* $pos$:记录最大$LIS$值出现时的数组下标`pos`,它是最大值的起始位置，一会要**倒序从它开始**，一直到$1$，通过递推前序的办法不断的向前倒序查找来源路径。
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* $pre[i]$:原始数组的每一个数字，都配套一个$pre[i]$,它和$f[i]$是成对出现的
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* $f[i]$:表示从第一个数字开始算，以$w[i]$<font color='red'>结尾</font>的最长的上升序列长度
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* $pre[i]$:它能获取到的$f[i]$这个最大长度时，是从哪个前序位置转移而来，也就是借了谁的光，依赖于谁过来的。
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* **边界**：最左侧第$1$个没有借任何人的光，初始默认值是$0$,这也是递归的终止条件。
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#### 输出路径代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, a[N];
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int f[N];
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int res, pos; // LIS最大长度 pos:最大长度是哪个下标数字提供
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int pre[N]; // 记录转移的前序关系
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// ① 循环+vector打印路径
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void print(int k) {
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vector<int> path; // 因为查找的关系是逆序的，需要用一个向量数组把这个逆序反过来，才能输出
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while (k) {
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path.push_back(a[k]);
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k = pre[k];
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}
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// 倒序输出LIS序列
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for (int i = path.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d ", path[i]);
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}
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// ② 递归打印路径
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void out(int k) {
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if (pre[k]) out(pre[k]); // 因为最前面的第1号，它的前序
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printf("%d ", a[k]);
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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f[i] = 1;
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for (int j = 1; j < i; j++)
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if (a[i] > a[j] && f[i] <= f[j]) {
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f[i] = f[j] + 1;
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pre[i] = j; // f[i]的前序是f[j]
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}
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// 更新最大值
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if (f[i] > res) {
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res = f[i]; // 记录LIS最大值
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pos = i; // 记录LIS最大值时相应的数组下标i
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}
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}
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// 输出LIS最大长度
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printf("%d\n", res);
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// 循环
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print(pos);
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puts("");
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// 递归
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out(pos);
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return 0;
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}
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```
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