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##[$AcWing$ $207$. 球形空间产生器 ](https://www.acwing.com/problem/content/description/209/)
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### 一、题目描述
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有一个球形空间产生器能够在 $n$ 维空间中产生一个坚硬的球体。
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现在，你被困在了这个 $n$ 维球体中，你只知道球面上 $n+1$ 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 $n$ 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
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**注意**： 数据保证有唯一解。
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**输入格式**
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第一行是一个整数 $n$。
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接下来的 $n+1$ 行，每行有 $n$ 个实数，表示球面上一点的 $n$ 维坐标。
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每一个实数精确到小数点后 $6$ 位，且其绝对值都不超过 $20000$。
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**输出格式**
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有且只有一行，依次给出球心的 $n$ 维坐标（$n$ 个实数），两个实数之间用一个空格隔开。
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每个实数精确到小数点后 $3$ 位。
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**数据范围**
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$1≤n≤10$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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2
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0.0 0.0
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-1.0 1.0
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1.0 0.0
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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0.500 1.500
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```
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### 二、解题思路
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**[前置知识：高斯消元法求解线性方程组](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15385357.html)**
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设球心坐标为$(x_1,x_2,...,x_n)$
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对于给定的$n+1$个点坐标为$(b_{i1},b_{i2},...,b_{in})$
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根据题意有如下$n+1$个方程构成的方程组
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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(b_{01}-x_1)^2 +(b_{02}-x_2)^2 +...+(b_{0n}-x_n)^2=R^2& \ ① \\
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(b_{11}-x_1)^2 +(b_{12}-x_2)^2 +...+(b_{1n}-x_n)^2=R^2& \ ② \\
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(b_{21}-x_1)^2 +(b_{22}-x_2)^2 +...+(b_{2n}-x_n)^2=R^2& \ ③ \\
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... \\
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(b_{n1}-x_1)^2 +(b_{n2}-x_2)^2 +...+(b_{nn}-x_n)^2=R^2& \
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\end{matrix}\right.
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$$
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因为我们学过的知识，只有 **高斯消元可以解这样的方程组**，但本题的方程是二次方的，肯定是不行，**需要想办法把二次方消掉**，化简为一次的多元线性方程组，才能使用高斯消元。
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进行公式变换，把二项全部消掉：
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$\large \displaystyle \left\{\begin{matrix}
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②-① \\
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③-① \\
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... \\
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(n+1) -①
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&
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\end{matrix}\right.$
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有：
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$$
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\large \displaystyle \left\{\begin{matrix}
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2(b_{11}-b_{01})x_1+2(b_{12}-b_{02})x_2+...+2(b_{1n}-b_{0n})x_n=b_{11}^2+b_{12}^2+...+b_{1n}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2 \\
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2(b_{21}-b_{01})x_1+2(b_{22}-b_{02})x_2+...+2(b_{2n}-b_{0n})x_n=b_{11}^2+b_{12}^2+...+b_{1n}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2 \\
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... \\
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2(b_{n1}-b_{01})x_1+2(b_{n2}-b_{02})x_2+...+2(b_{n1}-b_{0n})x_n=b_{n1}^2+b_{n2}^2+...+b_{nn}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2 \\
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\end{matrix}\right.
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$$
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令：
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$$\large \displaystyle
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\left\{\begin{matrix}
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2(b_{ij}-b_{0j})=a_{ij} \\
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b_{i1}^2+b_{i2}^2+...+b_{in}^2-b_{01}^2-b_{02}^2-...b_{0n}^2=a_{i,{n+1}}
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\end{matrix}\right. \ i,j \in [1,n]
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$$
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则有：
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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a_{11}x_1 +a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=a_{1,{n+1}} \\
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a_{21}x_1 +a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=a_{2,{n+1}} \\
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... \\
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a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=a_{n,{n+1}}
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\end{matrix}\right.
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$$
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如此变化后，就得到一个$n$个变量，$n$个等式的 **线程方程组**，可以使用 **高斯消元** 来处理。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 15;
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const double eps = 1e-8; // 小数的精度值
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int n;
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double a[N][N], b[N][N];
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int gauss() { // 高斯消元，答案存于a[i][n]中，0 <= i < n
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int r = 1; // 先按行后按列进行计算，当前行是第1行
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for (int c = 1; c <= n; c++) { // 枚举每一列
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int t = r; // 防破坏r,复制出t
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for (int i = r; i <= n; i++) // 当前行需要找它的后续行
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if (abs(a[i][c]) > abs(a[t][c])) t = i; // t的任务是找出c列中系数最大值是哪一行
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if (abs(a[t][c]) < eps) continue; // 如果c列绝对值最大的系数是0, 那么处理下一列
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for (int i = c; i <= n + 1; i++) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行与当前行交换
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for (int i = n + 1; i >= c; i--) a[r][i] /= a[r][c]; // a[r][c]:行首系数，将当前行的行首通过除法变为1,倒序
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for (int i = r + 1; i <= n; i++) // 用当前行r的c列，通过减法将后续行c列消成0
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for (int j = n + 1; j >= c; j--) // 倒序,需要保留行首，逻辑和上面是一样的，行首值是变更系数，如果正序就把系数变成1了，后面就不对了
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a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; // a[i][c]:需要变化的乘法系数，减法：对位相消
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r++; // 下一行
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}
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if (r <= n) { // 如果没有成功执行完所有行，意味着中间存在continue,也就是某一列的系数都是0
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for (int i = r; i <= n; i++)
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if (abs(a[i][n + 1]) > eps) return 0; // 系数是0，但结果不是0，无解
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return 2; // 系数是0，结果也是0，x取啥都对，有无穷多组解
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}
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// 代回求每个变量值
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for (int i = n - 1; i; i--) // 行,倒序
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for (int j = i + 1; j <= n; j++) // 列,倒三角,右上角应该都是0,对角线全是1
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a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1]; // 系数消为0
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return 1; // 有唯一解
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 0; i <= n; i++) // n+1行,下标从0开始
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for (int j = 1; j <= n; j++) // n列
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cin >> b[i][j];
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// 转换为线性方程组
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++) {
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a[i][j] += 2 * (b[i][j] - b[0][j]);
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a[i][n + 1] += b[i][j] * b[i][j] - b[0][j] * b[0][j];
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}
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// Gauss消元
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gauss();
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// 输出答案
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for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.3lf ", a[i][n + 1]);
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return 0;
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}
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```
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