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## [$AcWing$ $1184$. 欧拉回路](https://www.acwing.com/problem/content/1186/)
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### 一、题目描述
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给定一张图，请你 **找出欧拉回路**，即在图中找一个环使得每条边都在环上出现恰好一次。
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**输入格式**
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第一行包含一个整数 $t$，$t∈{1,2}$，如果 $t=1$，表示所给图为无向图，如果 $t=2$，表示所给图为有向图。
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第二行包含两个整数 $n,m$，表示图的结点数和边数。
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接下来 $m$ 行中，第 $i$ 行两个整数 $v_i,u_i$，表示第 $i$ 条边（从 $1$ 开始编号）。
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如果 $t=1$ 则表示 $v_i$ 到 $u_i$ 有一条无向边。
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如果 $t=2$ 则表示 $v_i$ 到 $u_i$ 有一条有向边。
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**图中可能有重边也可能有自环**。
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点的编号从 $1$ 到 $n$。
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**输出格式**
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如果无法一笔画出欧拉回路，则输出一行：$NO$。
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否则，输出一行：$YES$，接下来一行输出 **任意一组** 合法方案即可。
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如果 $t=1$，输出 $m$ 个整数 $p_1,p_2,…,p_m$。令 $e=|p_i|$，那么 $e$ 表示经过的第 $i$ 条边的编号。如果 $p_i$ 为正数表示从 $v_e$ 走到 $u_e$，否则表示从 $u_e$ 走到 $v_e$。
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如果 $t=2$，输出 $m$ 个整数 $p_1,p_2,…,p_m$。其中 $p_i$ 表示经过的第 $i$ 条边的编号。
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**数据范围**
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$1≤n≤10^5$,
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$0≤m≤2×10^5$
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**输入样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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1
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3 3
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1 2
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2 3
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1 3
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```
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**输出样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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YES
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1 2 -3
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```
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**输入样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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2
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5 6
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2 3
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2 5
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3 4
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1 2
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4 2
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5 1
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```
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**输出样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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YES
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4 1 3 5 2 6
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```
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### 二、解题思路
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#### 定义
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欧拉路径：通过图中每条边恰好一次的路径
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欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
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#### 无向图（边连通）
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- 若起点与终点不同：则起点与终点度数为奇数，其它点度数为偶数
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- 存在欧拉路径的充要条件：存在$0$或$2$个点的度数为奇数
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- 若起点与终点相同：则不存在某点的度数为奇数
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- 存在欧拉回路的充要条件：不存在度数为奇数的点
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#### 对有向图（边连通）
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- 若起点与终点不同：则起点的出度比入度多$1$，终点入度比出度多$1$，其它点的出度与入度相同
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- 存在欧拉路径的充要条件：所有点出度与入度相同，或者仅存在一个出度比入度多$1$的点（起点）和一个点入度比出度多$1$的点（终点），其它点出度与入度相同
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- 若起点与终点相同：则所有点的出度与入度相同
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- 存在欧拉回路的充分必要条件：所有点的出度与入度相同
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#### 求欧拉路径/欧拉回路(需保证边连通)
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利用$dfs$求欧拉路径/回路：在遍历完当前节点的所有邻接点后，将该点加入到序列中，在做完$dfs$后，欧拉回路为序列的逆序。
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#### $dfs$求欧拉路径模拟
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如上图所示，图中含多个顶点，其中只标出$A，B，C$方便算法描述。
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在进行$dfs$遍历时:
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路径$1$：从$A$点出发，遍历到$B$；
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路径$2$：从$B$点出发，遍历到$C$；
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路径$4$：回溯到$B$，依次添加节点到序列中，添加的节点顺序即为路径$4$；
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路径$3$：从$B$点出发，访问第$3$条边，直到遍历到自身；
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路径$5$：回溯到$B$，依次添加节点到序列中，添加的节点顺序即为路径$5$；
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路径$6$：回溯到$A$，依次添加节点到序列中，添加的节点顺序即为路径$6$；
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- ① 我们在遍历每个节点时将其添加到序列中，得到的序列为路径$1$，路径$2$，路径$3$，显然不是欧拉路径；
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- ② 我们在遍历完每个节点的所有邻接点后将其添加进序列，得到的序列为路径$4$，路径$5$，路径$6$，将序列逆置之后，得到路径$1$，路径$3$，路径$2$，即欧拉路径。
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#### $dfs$变形
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在普通的$dfs$中，我们通常选择对点进行判重，但在求欧拉路径的时候，因为存在环，所以一个点可能被遍历多次，因此我们采取 **对边判重**。
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#### $dfs$删边优化
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因为欧拉路径中每条边只走一次，因此我们可以在每条边被遍历之后把它删除，以节省判重时间，达到时间上的优化。
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#### $yxc$视频课中第一次错误优化
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```cpp {.line-numbers}
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void dfs(int u){
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for(int i = h[u] ; ~i ; i = ne[i]){
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if(st[i]){
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h[u] = ne[i];
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continue;
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}
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st[i] = 1;
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if(type == 1)st[i ^ 1] = 1;
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int t;
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if(type == 1){
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t = i / 2 + 1;
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if(i & 1)t = -t;
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}
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else t = i + 1;
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h[u] = ne[i];
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dfs(e[i]);
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res[++ cnt] = t;
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}
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}
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```
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**正确优化**
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```cpp {.line-numbers}
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void dfs(int u){
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for(int i = h[u] ; ~i ; i = h[u]){//区别
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if(st[i]){
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h[u] = ne[i];
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continue;
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}
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st[i] = 1;
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if(type == 1)st[i ^ 1] = 1;
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int t;
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if(type == 1){
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t = i / 2 + 1;
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if(i & 1)t = -t;
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}
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else t = i + 1;
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h[u] = ne[i];
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dfs(e[i]);
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res[++ cnt] = t;
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}
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}
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```
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#### 代码解释
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考虑第一个点有$n$条自环的情况，并且假设$n$条自环边的编号由内向外递增$0，1，2$…
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第一次错误的修改和最终正确的修改的区别在于$for$循环中$i$是如何改变的
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- $1$.错误的$i = ne[i]$
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- $2$.正确的$i = h[u]$
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**$Q$:为什么$1$是错的呢？**
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因为即使在循环内已经把$h[u]$改为了$ne[i]$，但在第一层$dfs$中，$i$能被$h[u]$影响到的只有在第一次赋值时，所以即使把$h[u] = ne[i]$,但在回溯到第一层时，$i = ne[i]$,而$ne[i]$即为第一条边的下一条边(也就是第二条边，如此往复,第二条边的下一边是第三条边…即还是要循环$n$次)。同理，在第二层时，因为在第一层已经把$h[u]$改为了第一层的$ne[i]$即第二条边，所以第二层从第二条自环开始循环，要循环$n-1$次，总的时间复杂度还是平方级别
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**$Q$:为什么$2$是对的呢？**
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因为在$i$改变由$h[u]$决定,在第一层时$h[u]$已经变为第二条边，所以到第二层时从第二条边开始循环，在第二层时$h[u]$又改为了第三条边，所以第三层从第三条边开始....以上和$1$是一样的，区别在于回溯的时候，比如回溯到了第一层，$i$是通过$h[u]$来改变的，而此时$h[u]$已经变成了$-1$所以跳出循环，第一层只执行了一次，所以是线性的。
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**思考方式**
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用多个自环的用例，手动模拟一下，就明白这个道理了：
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### 五、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 100010, M = 400010;
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int T; // 1：无向图，2：有向图
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int n, m; // n个节点，m条边
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int din[N], dout[N]; // 入度，出度,如果是无向图，则din[u]+dout[u]=u点的度
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int cnt, ans[M]; // 欧拉回路路径
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// 链式前向星
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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int st[M]; // 某条边是否已访问过
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// 1、无向图
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void dfs1(int u) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = h[u]) {
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h[u] = ne[i];
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if (st[i]) continue;//这个st[i]是给成对变换的无向图专用的，因为一边走一边删边，有向图的边都删除掉了，还记录啥走没走过，只有无向图才有这个，因为成对变换的边还没有删除掉，需要标识一下
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//st[i] = 1, st[i ^ 1] = 1; // 无向图，成对变换的边也标识为已使用过
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st[i ^ 1] = 1; // 无向图，成对变换的边也标识为已使用过
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// 本题的特殊要求
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int t = i / 2 + 1; // 无向图计算边号，注意i从0开始，所以需要除2再加1
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if (i & 1) t = -t; // 偶数边u->v,奇数边v->u,题目要求v->u输出一个负号
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// 注意是回溯时再记录，题解中有论述原因
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dfs1(e[i]);
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// 记录路径
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ans[++cnt] = t;
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}
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}
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// 2、有向图
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void dfs2(int u) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = h[u]) {
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h[u] = ne[i];
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int t = i + 1; // 有向图计算边号，注意i从0开始，所以加1
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// 注意是回溯时再记录，题解中有论述原因
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dfs2(e[i]);
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// 记录路径
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ans[++cnt] = t;
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}
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}
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int main() {
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scanf("%d%d%d", &T, &n, &m); // 图的类型
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memset(h, -1, sizeof h); // 链式前向星
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for (int i = 0; i < m; i++) { // 后面的m条数是有用的，如果路径中最终的数量小于m，表示未能找到欧拉回路，不能用while(m--)替换
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int a, b;
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scanf("%d%d", &a, &b);
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add(a, b);
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if (T == 1) add(b, a);
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din[b]++, dout[a]++; // 有向图：记录入度和出度；无向图：D(u)指经过u的无向边数量=din[u]+dout[u]
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}
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if (T == 1) {
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if ((din[i] + dout[i]) & 1) { // 无向图中，如果某个点的度是奇数，则不存在欧拉回路
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puts("NO");
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return 0;
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}
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} else {
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (din[i] != dout[i]) { // 有向图中，如果某个点的入度与出度不等，则不存在欧拉回路
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puts("NO");
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return 0;
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}
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}
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// 开始找欧拉回路
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for (int u = 1; u <= n; u++)
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// 举例：如果是两个欧拉回路图，那么两者之间彼此不连通，此时也不欧拉回路，我们找到一个非独立点开始出发，找出所有的边，
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// 再通过检查边的数量与真实边的数量对比,才能真正知道是不是存在欧拉回路
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if (~h[u]) {
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if (T == 1)
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dfs1(u);
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else if (T == 2)
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dfs2(u);
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break;
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}
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// 如果找到的欧拉回路路径条数小于总边数m,表示没有找出全部边，说明无欧拉回路
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if (cnt < m) {
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puts("NO");
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return 0;
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}
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// 存在欧拉回路
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puts("YES");
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// 逆序输出序列
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for (int i = cnt; i; i--) printf("%d ", ans[i]);
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return 0;
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}
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```
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