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## 哈夫曼编码（$Huffman$ $Coding$）原理详解
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### 一、哈夫曼编码简介
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哈夫曼编码，又称为霍夫曼编码（$Huffman$ $Coding$）
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是一种可变长编码($VLC$, $variable$ $length$ $coding$)方式，比起定长编码的 $ASCII$ 编码来说，哈夫曼编码能节省很多的空间，因为每一个字符出现的频率不是一致的；
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是一种用于**无损数据压缩**的熵编码算法，通常**用于压缩重复率比较高的字符数据**。
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如果我们通过转换成$ASCII$码对应的二进制数据将字符串 $BCAADDDCCACACAC$ 通过二进制编码进行传输，那么一个字符传输的二进制位数为 $8bits$，那么总共需要 $120$ 个二进制位；而如果使用哈夫曼编码，该串字符可压缩至$28$位。
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[$Q$:为什么一个字节是八个bit](https://blog.csdn.net/snowin1994/article/details/91393390)
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/d0211bfe087b4107890fa997cd73289b.png'></center>
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### 二、哈夫曼编码方法
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哈夫曼编码首先会使用字符的**频率**创建一棵树，然后**通过这个树的结构为每个字符生成一个特定的编码**，出现**频率高**的字符**使用较短的编码**，出现**频率低**的则**使用较长的编码**，这样就会使编码之后的字符串平均长度降低，从而达到数据无损压缩的目的。
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#### 1. 计算字符串中每个字符的频率：
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/b0d35cf91810464da8f7a7b0721ec0bc.png'></center>
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#### 2. 按照字符出现的频率进行排序，组成一个队列 $Q$
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出现频率最低的在前面，出现频率高的在后面。
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/54ea35b4150446e189666259f03957f5.png'></center>
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#### 3. 把这些字符作为叶子节点开始构建一颗哈夫曼树
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哈夫曼树又称为最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
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* 首先创建一个空节点 $z$，将最小频率的字符分配给 $z$ 的左侧，并将频率排在第二位的分配给 $z$ 的右侧，然后将 $z$ 赋值为两个字符频率的和；然后从队列 $Q$ 中删除 $B$ 和 $D$，并将它们的和添加到队列中，上图中 $*$ 表示的位置。
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/873651259ed846f99f930469824b0d3a.png'></center>
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* 紧接着，重新创建一个空的节点 $z$，并将 $4$ 作为左侧的节点，频率为 $5$ 的 $A$ 作为右侧的节点，$4$ 与 $5$ 的和作为父节点，并把这个和按序加入到队列中，再**根据频率从小到大构建树结构（小的在左）**。
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/4e339808036a4d3397a94b979932d02c.png'></center>
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* 继续按照之前的思路构建树，直到所有的字符都出现在树的节点中，哈夫曼树构建完成。
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**节点的带权路径长度**:为从根节点到该节点的路径长度与节点权值的乘积。
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该二叉树的带权路径长度 $WPL = 6 * 1 + 5 * 2 + 3 * 3 + 1 * 3 = 28$
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/37253e0c06cb4585aa80f209da1fd12f.png'></center>
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* 4. 对字符进行编码
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哈夫曼树构建完成，下面我们要对各个字母进行编码，
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**编码原则**：对于每个非叶子节点，将 $0$ 分配给连接线的左侧，$1$ 分配给连接线的右侧，最终得到字符的编码就是从根节点开始，到该节点的路径上的 $01$ 序列组合。
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/ea0051bc825c498189736c084b4abffc.png'></center>
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因此各个字母的编码分别为：
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<!-- 让表格居中显示的风格 -->
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<style>
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.center
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{
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width: auto;
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display: table;
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margin-left: auto;
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margin-right: auto;
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}
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</style>
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<div class="center">
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| $A$ | $B$ | $C$ | $D$ |
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| ---- | ---- | ---- | ---- |
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| $11$ | $100$ | $0$ | $101$ |
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</div>
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在没有经过哈夫曼编码之前，字符串$\large BCAADDDCCACACAC$的二进制为：
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```c++
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10000100100001101000001010000010100010001000100010001000100001101000011010000010100001101000001010000110100000101000011
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```
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也就是占了 $120$ 比特；
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编码之后为：
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```c++
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1000111110110110100110110110
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```
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占了 $28$ 比特。
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#### 5. 确定发送的数据
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哈夫曼编码将发送字符串的数据长度极大压缩，考虑到接收方的编码，还需要把哈夫曼树的结构也传递过去。
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即字符占用的 $32$ 比特和 频率占用的 $15$ 比特也需要传递过去。
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总体上，编码后比特数为$32 + 15 + 28 = 75$，比 $120$ 比特少了 $45$ 个，效率还是非常高的。
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<font color='red' size=4><b>注：之所以把字符和频率再发过去，对方就知道$A:11$,$B:1001$...,以此来对$ABCD$进行相应的解码工作。</b></font>
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<center><img src='https://img-blog.csdnimg.cn/004639adea4f4fab851eff4729619dd5.png'></center>
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根据原文进行验证吧：
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$$\large BCAADDDCCACACAC$$
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从本质上讲，哈夫曼编码是将最宝贵的资源（**最短的编码**）给出现概率最多的数据。
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在上面的例子中，$C$ 出现的频率最高，它的编码为 $0$，就省下了不少空间。
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### 三、特点
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哈夫曼编码有三个特点：
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* 带权路径长度$WPL$最短且唯一
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* 编码互不为前缀（一个编码不是另一个编码的开头）
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* 哈夫曼树和编码都不唯一
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**$Q$:为什么通过哈夫曼编码后得到的二进制码不会有前缀的问题呢？**
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这是因为在哈夫曼树中，每个字母对应的节点都是叶子节点，而他们对应的二进制码是由根节点到各自节点的路径所决定的，正因为是叶子节点，每个节点的路径不可能和其他节点有前缀的关系。
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**$Q2$:为什么通过哈夫曼编码获得的二进制码短呢？**
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因为哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的节点离根节点较近。而带权路径长度是指：树中所有的叶子节点的权值乘上其到根节点的路径长度，这与最终的哈夫曼编码总长度成正比关系的。 |