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## [$AcWing$ $1073$. 树的中心](https://www.acwing.com/problem/content/description/1075/)
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### 一、题目描述
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给定一棵树，树中包含 $n$ 个结点（编号$1$~$n$）和 $n−1$ 条无向边，每条边都有一个权值。
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请你在树中找到一个点，**使得该点到树中其他结点的最远距离最近**。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n−1$ 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$，表示点 $a_i$ 和 $b_i$
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之间存在一条权值为 $c_i$ 的边。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示所求点到树中其他结点的最远距离。
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**数据范围**
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$1≤n≤10000,$
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$1≤a_i,b_i≤n,$
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$1≤c_i≤10^5$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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5
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2 1 1
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3 2 1
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4 3 1
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5 1 1
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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2
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```
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### 二、暴力大法
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国际惯例上来就写暴力:
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对每一个点都求得它的 **最远距离**, 答案=$min($所有点的最远距离$)$
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通过 $7/11$个数据然后$TLE$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 10010, M = N << 1;
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int n;
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int ans;
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int res = INF;
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// 邻接表
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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void dfs(int u, int fa, int sum) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (v == fa) continue;
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dfs(v, u, sum + w[i]);
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}
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ans = max(ans, sum);
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n;
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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int a, b, c;
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cin >> a >> b >> c;
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add(a, b, c), add(b, a, c);
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}
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// 暴力换根
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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ans = 0;
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dfs(i, 0, 0);
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res = min(res, ans);
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}
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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```
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### 三、换根$DP$【模板，背诵】
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<font color='red' size=4><b>注：与前一题类似，也是怕两重循环导致时间复杂度上升到$O(N^2)$,不能遍历每两个节点，只能是遍历每个节点，尝试构建此节点的上下游信息，再用这些信息找出树的中心。</b></font>
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换根$DP$就是根据父亲的属性来更新他更新儿子的属性，相当于只需要考虑把顶点移到儿子对结果造成的影响。
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同样，先来想一下如何暴力求解该问题：先 **枚举** 目标节点，然后求解该节点到其他节点的 **最远距离**
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时间复杂度为 $O(n^2)$，对于本题的 **数据规模**，十分极限，经测试只能过 $7/11$
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#### 考虑如何优化求解该问题的方法
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思考一下：在确定树的 **拓扑结构** 后单独求一个节点的 **最远距离** 时，会在该树上去比较哪些 **路径** 呢？
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1. 从当前节点往下，直到子树中某个节点的最长路径
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2. 从当前节点往上走到其父节点，再从其父节点出发且不回到该节点的最长路径
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此处就要引入 **换根$DP$** 的思想了
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换根$DP$ 一般分为三个步骤：
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1. 指定任意一个根节点
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2. 一次$dfs$遍历，统计出当前子树内的节点对当前节点的贡献
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3. 一次$dfs$遍历，统计出当前节点的父节点对当前节点的贡献，然后合并统计答案
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那么我们就要先 $dfs$ 一遍，预处理出当前子树对于根的 **最大贡献(距离)** 和 **次大贡献（距离）**
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处理 **次大贡献（距离）** 的原因是：
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如果 **当前节点** 是其 **父节点子树** 的 **最大路径** 上的点，则 **父节点子树** 的 **最大贡献** 不能算作对该节点的贡献
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因为我们的路径是 **简单路径**，不能 **走回头路**
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然后我们再 $dfs$ 一遍，求解出每个节点的父节点对他的贡献（即每个节点往上能到的最远路径)
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两者比较，取一个 $max$ 即可
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我们用 $mx1[u],mx2[u],up[u],id[u]$分别存一下需要的信息，这些数据存的是：
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$mx1[u]$：存下$u$节点向下走的最长路径的长度
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$mx2[u]$：存下$u$节点向下走的第二长的路径的长度
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$id[u]$：存下$u$节点向下走的最长路径是从哪一个节点下去的
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$up[u]$：存下$u$节点向上走的最长路径的长度
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#### 图解
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/01/15/42785_5954f63056-QQ%E6%B5%8F%E8%A7%88%E5%99%A8%E6%88%AA%E5%9B%BE20210115135517.png'></center>
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/01/15/42785_6a42693256-QQ%E6%B5%8F%E8%A7%88%E5%99%A8%E6%88%AA%E5%9B%BE20210115135059.png'></center>
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/09/01/64630_72b7979429-42785_6dab43be56-QQ浏览器截图20210115135251.png'></center>
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#### 实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 10010, M = N << 1;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int n; // n个节点
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int mx1[N]; // mx1[u]：u节点向下走的最长路径的长度
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int mx2[N]; // mx2[u]：u节点向下走的次长路径的长度
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int id[N]; // id[u]：u节点向下走的最长路径是从哪一个节点下去的
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int up[N]; // up[u]：u节点向上走的最长路径的长度
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// 邻接表
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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// 功能:以u为根，向叶子进行递归，利用子节点返回的最长信息，更新自己的最长和次长,并记录最长是从哪个节点来的
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void dfs1(int u, int fa) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (v == fa) continue;
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// 递归完才能有数据
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dfs1(v, u);
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int x = mx1[v] + w[i]; // u问到：儿子v可以带我走多远？
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if (mx1[u] < x) { // 更新最长
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mx2[u] = mx1[u]; // ① 更新次长
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mx1[u] = x; // ② 更新最长
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id[u] = v; // ③ 记录最长来源
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} else if (mx2[u] < x) // 更新次长
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mx2[u] = x;
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}
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}
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// 功能：完成向上的信息填充
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void dfs2(int u, int fa) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (v == fa) continue;
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// 二者取其一
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if (id[u] == v)
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up[v] = max(mx2[u], up[u]) + w[i];
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else
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up[v] = max(mx1[u], up[u]) + w[i];
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// 递归
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dfs2(v, u);
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}
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n;
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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int a, b, c;
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cin >> a >> b >> c;
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add(a, b, c), add(b, a, c);
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}
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dfs1(1, 0); // 选择任意一个节点进行dfs,用儿子更新父亲的统计信息
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dfs2(1, 0); // 向上
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int res = INF;
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for (int i = 1; i <= n; i++) res = min(res, max(mx1[i], up[i]));
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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``` |