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### 一、前导知识
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#### 1、三角形全等判定定理
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1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称$SSS$或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
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2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等($SAS$或 “边角边”)。
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3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等($ASA$或 “角边角”)。
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4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等($AAS$或 “角角边”)。
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5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等($HL$或“斜边,直角边”)。
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$SSS,SAS,ASA,AAS,HL$均为判定三角形全等的定理。
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**注意**：在全等的判定中,没有$AAA$(角角角)和$SSA$(边边角)(特例：直角三角形为$HL$,属于$SSA$),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
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**$Tips$**
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**[$Q$:边边角（$SSA$）就一定不能证明三角形全等吗？](https://zhuanlan.zhihu.com/p/22000159)**
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**两个角相加等于 $90^ \circ$ ，叫互余；两个角相加等于 $180^ \circ$，叫互补**
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#### 2、垂直平分线
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1、**线段的垂直平分线（中垂线）**
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（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
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（2）性质：**线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等**。
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（3）判定：**到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上**。
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（4）画法：线段$AB$的垂直平分线，分别以线段$AB$两个端点为圆心，大于$AB$长为半径画弧，两弧交于两点$CD$，则直线$CD$是线段$AB$的垂直平分线。
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2、**轴对称**
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（1）轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
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（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形完全重合，就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
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（3）性质：
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①关于某条直线对称的两个图形是全等形
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②如果两个图形关于某条子线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线；
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③两个图形关于某一条直线对称，如果它们的对应线段或者延长线相交，那么交点在对称轴上。注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称。
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**[扩展阅读](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1680219166686180592&wfr=spider&for=pc)**
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### 二、练习题
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**思路**：
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- 因题目告之$AB=CB$,同时 $\angle ABC=90^ \circ$,所以是一个等腰直角三角形。
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- $\angle CBE + \angle DBA= \angle DBA+ \angle DAB$
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$\therefore$ $\angle CBE = \angle DAB$
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- 又$\because BC=AB$
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根据直角三角形判断相等 $AAS$，
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$\therefore$ $\triangle CEB $ $\cong $ $\triangle ADB $
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$\therefore EB=AD=3,DE=DB-EB=CE-DB=5-3=2$
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解:$\triangle CEB $ $\cong $ $\triangle CDA$ 即可，$SAS$
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解：$\triangle BDA $ $\cong $ $\triangle ACE$ $\therefore$ $\angle 3= $ $55^ \circ$
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解：
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① $\because$ $\angle ABC= $ $45^ \circ$
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$\therefore$ $\triangle ABD $ 为等腰直角三角形， $AB=DB$
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$\therefore$ $\triangle DFB $ $\cong $ $\triangle FDB$ ($AAS$)
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证毕
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②
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$\because FB=DC$ $\angle ADC= $ $90^ \circ$
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$\triangle FDC $ 为等腰直角三角形
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$\therefore$ $\angle FCD= $ $45^ \circ$
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证毕
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③ $ BF=2EC$,所以$E$为中点，$BE$就是垂直平分线。
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$\therefore AF=FC,AB=BC$(**垂直平分线的性质**)
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$\therefore AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD$
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证毕
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**湖北鄂州 中考真题 初中数学 2020**
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$\triangle AOC $ $\cong $ $\triangle BOD $
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$\therefore$ $AC=BD$ ② $✔$
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$\because$ $\angle AMB= \angle DMC $ (对顶角)
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$\angle ACO =\angle ODB$
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$\therefore$ $\angle COD=CMD $ (两个三角形中，有一个共顶角，另外两个角相等，剩下的两个角也一定相等)
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$\therefore$ $\angle AMD= $ $\angle COD= $ $36^ \circ$ ① $✔$
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由$O$向$AC$,$BD$引出垂线，垂足为$H,G$，因为 $\triangle AOC $ $\cong $ $\triangle BOD $,所以对应边的垂线长度也一定要等，$\triangle OHM $与 $\triangle OMG $共用一条边$OM$,并且，另一条直线边还相等，所以
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$\triangle OHM $ $\cong $ $\triangle OGM $
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$\therefore$ $\angle AMO =\angle DMO $ ④ $✔$
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现在还看一下 ③
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反证法：假设 $\angle AOM=\angle MOD $ 看看会不会有矛盾产生。
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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\angle AOM= \angle MOD & \\
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OM=OM & \\
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\angle OMA= \angle OMD & (上面的结论 ④)
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\end{matrix}\right.
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$$
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根据$ASA$定理，则 $\triangle AOM $ $\cong $ $\triangle OMD $
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$\therefore$ $OA=OD=OC$,而题目明确给出$OA<OC$,所以假设错误，③ $✘$
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**总结**
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- 构造直角三角形,利用三角形全等来判断角是不是相等
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- 反证法，同时注意读题中的隐含条件，想一想他为什么要给出这样一个条件
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$SAS$可以证明 (1)
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连接$A->M$,根据结论(1),依然有 $\triangle AMO $ $\cong $ $\triangle NOB $
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$\because$ $\angle OAB=45 ^ \circ$
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$\angle MAO=\angle OBA=45 ^ \circ$
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$\therefore \angle MAN=90 ^ \circ$
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$MN=BN$
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$MN^2=AB^2=2ON^2$
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证毕
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**前导知识**
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####[学习平行四边形判定要学好，这五种方法要掌握牢](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1663846175361026113&wfr=spider&for=pc)
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**解：**
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延长$AD$，截取$DE=AD$ 则$D$为$AE,BC$的中点，平行四边形判定办法，知道$ABCE$为平行四边形。
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$AE<AB+BE=AB+AC=7+5=12$,所以$AD<6$
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同时，$AE>AC-CE=7=5=2$,所以$AD>1$
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选$A$
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<font color='red' size=4><b>三个都需要仔细思考，并由教师进行点拨</b></font>
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答：
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(1) $SAS$
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(2) $AB-AC<AE<AB+AC \Rightarrow 2 <AE <10 \Rightarrow 1<AD<5$
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(3)
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- $BF$与$AC$不在一个三角形中，不好直接证明，需要引辅助线。
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- 一般中线的题，都是把中线延长一倍，然后再来思考解决办法。
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画出下图：
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$\triangle BDH \cong \triangle ADC \ SAS$
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如此，成功的把$AC$转化为$BH$,而$BH$与$BF$在同一个三角形中，就是证明$\triangle BFH$是等腰三角形即可，问题得到转化。
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$\because \triangle BHD=\triangle ADC 平行四边判定办法,内错角相等$
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在，而$\triangle BFH=\triangle AFE$,而$AE=EF$,所以$\triangle AFE=\triangle FAC=\triangle BHA$
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结论：$\triangle BHD=\triangle BFH \Rightarrow BF=BH=AC$
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**【前导知识】**
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**[直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](https://jingyan.baidu.com/article/75ab0bcb067a7f97864db28d.html)**
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**[相似三角形](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1725813670281051114&wfr=spider&for=pc)**
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- $\triangle BEF \sim \triangle ABD$
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- 欲证明$EG=GC$,而$GC=NG$,根据直角三角形的中线定理可知，如果我们能证明$\triangle NEC$为直角三角形即可。
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$Q$:如何证明一个三角形是直角三角形呢？
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$A$:通过勾股定理肯定可以，这里用不上，只能从角度方向去思考：
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通过瞪眼大法得知：
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如果真有这个$\triangle NEC=90^\circ$,那么$\angle NEF=\angle BEC$(两个直角+一个共用的角)
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我们现在知道：$EF:EB=1:2$,$DC=NF:BC=1:2$
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$\therefore EF:EB=NF:BC$
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因为$\tan \alpha=1/2$
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$90^{\circ}-\angle 1+\angle 2 +(90^{\circ}-\angle 1)=180^{\circ}$
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$\therefore \angle 2=2 \times \angle 1$
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即两个成比例边的夹角:$\angle EBC=\angle EFN$
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$\therefore \triangle BEC \sim \triangle FEN$，都扣去$\angle FEC$,则证明了$\angle CEN=90^ \circ$
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**证毕**。
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**【前导知识】**
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**[相似三角形](https://baijiahao.baidu.com/s?id=1725813670281051114&wfr=spider&for=pc)**
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$\triangle AEG \sim \triangle BFE$
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比例：
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$\frac{AE}{BF}=\frac{AG}{BE}$
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同时：
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$AE=BE$
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$\therefore AE^2=AG . BF=2$
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$\therefore AE=\sqrt{2}$
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$\therefore GF^2=CE^2+EF^2=AG^2+AE^2+BE^2+BF^2=1+2+2+4=9$
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$\therefore GF=3$
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**答：**
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$\triangle EFC \cong \triangle DAE$
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$EF=AE$
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$BF=BC-FC=BC-AD=5$
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$AF=\sqrt{AB^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13$
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$\therefore \large AE=\frac{13}{2}$
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$\triangle ODE \cong \triangle AOB$
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$CO是垂直平分线$,证毕
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**辅助线：**
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$\triangle APB \cong \triangle BPE $
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$S_{\triangle PEC}=S_{\triangle APC}$ 底边长度一样，高相同。
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所以阴影面积是一半的面积。
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$CD$平分$\angle ACB$, $BD$ $\perp$ $CD$
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$\triangle EBC$是等腰直角三角形
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$AE=BE=BD+D1+1=2$
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选$A$
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$\triangle AEG \cong \triangle AEC$
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$ED$为$\triangle GCB$中位线 $BF=(AB-AC)/2$
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**答：是$1/2$的概率**
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#### 前导知识
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**[中考压轴不再难！半角模型详解！](https://www.bilibili.com/video/av883564693/?vd_source=13b33731bb79a73783e9f2c0e11857ae)**
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**[【中考热点】基本模型——半角模型 视频]([222](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1NjYzNjE1NQ==&mid=2247541158&idx=2&sn=9c0e4ecb5b23608efcb11304aeae6400&chksm=ea21c432dd564d2428c3c70ba490b53ca76486ecab875fb05461bc11ea97ad392845b964d6cc&scene=27))**
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**[中考数学—— 《半角模型》的“N条结论”](https://www.bilibili.com/video/BV1nG4y1x7Ku/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1&vd_source=13b33731bb79a73783e9f2c0e11857ae)**
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**[几何模型之半角模型](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU1MjQ5OTM5MA==&mid=2247502896&idx=5&sn=d490daf2bf21035633d0d1e6ac891c43&chksm=fb83ade1ccf424f7432a7abe3cb085793f599ea3999ef5427d82f385f9707bde2ff8ae2a2d73&scene=27)**
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<font color='red' size=4><b>画图解析：</b></font>
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<center><img src='http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/bc629cfd774f909ec1dbdb633d115a94.jpg'></center>
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**题解**
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因为$\triangle AMN$的周长需要三长边$AM,MN,AN$,而分别计算出来并加在一起从题目中给出的条件看来并不现实，所以需要将一条边转化到另一条边上去，这样就可以拿到两条直边，看看能不能和题目给出的$AB、AC$建立起关系。
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通过瞪眼大法得知，$AN=AC-CN$,所以，尝试将$CN$移动到$AB$上去,一旦成功转化，就好办了。
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**引辅助线**：在AB延长线上截取$BF=NC$，试图证明$\triangle BDF \cong \triangle DNC$,很显然，通过$ASA$($BD=DC,NC=BF,\angle FBD= \angle DCN$),全等三角形得证。有条件 $DF=DN$ 成立。
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现在还拿不到结论，还需要继续瞪眼大法：
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$\angle BDM+\angle MDN + \angle NDC= 120^ \circ$
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而其中$\angle MDN=60 ^ \circ$
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$\therefore \angle BDM+\angle NDC=60 ^ \circ$
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而$\angle NDC=\angle BDF$,所以$\angle MDF=60^\circ$ ①
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$MD$是公共边 ②
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$DF=DN$ ③
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$\therefore \triangle MDF \cong \triangle MDN$ $(SAS)$
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$\therefore MN=MB+BF$
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$C_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN=AB+BF+AN=AB+AN+NC=AB+AC=2a$
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<font color='red' size=4><b>第二问也是成立的，因为两角相加等于180，也就是互补，一样可以证明两个三角形全等。</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>下面解决第三问：</b></font>
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$\triangle BAG \cong \triangle DAF$ $\Rightarrow$ $\angle BAG=\angle DAF,AG=AF$
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$\angle BAG + \angle EAD= \angle DAF + \angle EAD=\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD$
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将$\angle DAF$移动到$\angle BAG$后，这块多出来的小角就存在于原始角$\angle BAD$中了，扣除它后，再扣除$\angle EAD$,则剩下的$\angle GAE$就是$\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF$
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$\therefore \triangle AGE \cong \triangle EAF$
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$\therefore EG=EF$
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$\because EG=BE-BG$
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$\therefore EF=BE-FD$ 所以，题目中说到的结论是错误的。
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<font color='red' size=4><b>本题是例题，不再讲解</b></font>
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<font color='red' size=4><b>思路</b></font>
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通过两次三角形全等，可知$\angle GAE=\angle EAF,FN=GH$ $\Rightarrow \triangle DFN \cong \triangle BGH$
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$BM^2+DN^2=BM^2+BH^2=MH^2=MN^2$
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$\because DN=1,BM=2$
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$\therefore 2^2+1^2=MN^2$
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$\therefore MN=\sqrt{5}$
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#### 1、证明 $AN=EN$
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$\because \angle AMN=\angle BME,\angle EAN=45^ \circ =\angle ABM$
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$\therefore \triangle AMN \sim \triangle BME$
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$\large \therefore \frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}$
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同时，$\angle AMB=\angle BMN$
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$\therefore \triangle AMB \sim \triangle NME$
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$\therefore \angle AEN=\angle BAE=45 ^ \circ$
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同时因为$\angle EAN=45 ^ \circ$
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$\therefore \angle ENA=90^\circ$
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也就是$\triangle ANE$为等腰直角三角形 ，所以 $AN=NE$, ① $✔$
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#### 2、证明 当$AE=AF$时，$\frac{BE}{EC}=2-\sqrt{2}$
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设正方形边长为$1$,设$CE=x$,$\Rightarrow OC=\frac{\sqrt{2}}{2}x$
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$\triangle AOE \cong \triangle ABE $ $\Rightarrow $ $AO=AB=1$ $\Rightarrow $ $CO=\sqrt{2}-1$
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$\therefore 1+ \frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ $ x= 2- \sqrt{2}$
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$\large \frac{BE}{EC}=\frac{1-(2-\sqrt{2})}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
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故 ② $✘$
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#### 3、证明$BE+DF=EF$
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半角模型常见办法，就不再赘述了。 ③ $✔$
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#### 4、证明 存在点$E,F$,使得$NF>DF$
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这是一个大边对大角，小边对小角的知识点考查，$\angle NDF=45 ^ \circ$,$\angle FND=\angle NDA + \angle NAD=45^ \circ+\angle NAD$
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$\therefore \angle DNF> \angle NDF$,$\Rightarrow $ $DF>NF$ ④ $✘$
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证明$\triangle BPK \cong \triangle BPD$ ①
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$\angle PKA=\angle PDC =90 ^ \circ$ ②
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$KP=PD$ ③
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$\therefore \triangle APK \cong \triangle PDC$
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所以第一问、第二问、第三问(稍一修改即可)都正确。
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第四问：将$\triangle PDC$ 旋转到$\triangle PKA$,$S_{PCBA}=S_{\triangle BKP}+S_ { \triangle BPD}$ ，所以也正确。
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