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一、题目描述
给你一个$n$种面值的货币系统，求组成面值为$m$的货币有多少种方案。
输入格式 第一行，包含两个整数$n$和$m$。
接下来$n$行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。
输出格式 共一行，包含一个整数，表示方案数。
数据范围
n≤15,m≤3000
输入样例：
3 10
1
2
5
输出样例：
10
二、题目解析
本题与上一题买书问题基本一模一样，只是方案数可能很大，需要用long long来存储。
状态表示
f[i][j]: 用前$i$种面值的货币组成面值 恰好 为$j$的方案数
状态转移方程
\large f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-v]
边界状态为f[i][0] = 1
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
const int M = 3010;
int n, m;
LL v[N];
LL f[M];
int main() {
cin >> n >> m;
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> v[i];
for (int j = v[i]; j <= m; j++)
f[j] += f[j - v[i]];
}
printf("%lld\n", f[m]);
return 0;
}
四、 重复组合公式
计算公式 从$n$个不同的元素每次取出$r$个元素的 允许重复 组合总数为:
\large F(n,r)=C_{n+r-1}^r
证明
- 插板法原理
考虑这样一个问题：把$10$个苹果分给$3$人，每人至少分$1$个，有多少种分法？
我们这样考虑：把$10$个苹果分给$3$人，我们就要在$9$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_9^{2}$种。如图的插板方式，就是甲分$3$个，乙分$5$个，丙分$2$个。
- 变式$1$ 将上述问题略加变化：把$10$个苹果分给$3$人，每人可以不分，有多少种分法？
这时我们要向第一种情况转化，可以假设甲、乙、丙三人本来都有苹果，他们都拿一个苹果出来，一起分，这样他们每人就至少要一个苹果了。
我们就要在$9+3=12$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_{12}^2$种。如图的插板方式，就是甲分$3-1=2$个，乙分$8-1=7$个，丙分$2-1=1$个。
- 变式$2$ 继续深入讨论：把$10$个苹果分给$3$人，甲至少要$2$个，乙至少要$3$个，丙可以不要，有多少种分法？
我们还要向第一种情况转化，可以假设先给甲$1$个、给乙$2$个、而丙自己先拿出来$1$个，这样他们分余下的苹果时，每人至少要一个苹果就可以了。
我们就要在$9-3+1=7$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_7^2$种。如图的插板方式，就是甲分$3+1=4$个，乙分$2+2=4$个，丙分$3-1=2$个。
回到本题，理解为 变式$2$, 每个盒子里可以没有被选择的数字，也就是$0$个,为了适应 隔板法,通过构造的办法，我们认为每个盒子先拿出来一个，这样，最起码它最后能有$1$个,也就是$n+r$个小球，此时，可以放隔板的位置就是$n+r-1$个，需要选择的位置数是$r$：
\large F(n,r)=C_{n+r-1}^r
证毕
利用公式估算数据范围
\LARGE C_{3000+15-1}^{3000}=C_{3014}^{14}=\frac{3014!}{14!\times 3000!}=\frac{3001\times ... \times 3014}{14!}
最坏的情况
上面我们的思考和假设，都是 一样的小球,也就是对应着所以货币的面额都是1,要求组合成价值$3000$的货币,每种货币无个数限制。
由于题目中说了，每种货币的价值并不相同，也就是上面论述的每个盒子里面不能随意放入最多$r$个小球，受每个盒子上限不同的限制。根据公式求出的数值，肯定是大于真实的数值。
按公式计算出的数值,要大于int的范围,如果此题数据为最坏情况，那么long long也会爆掉。