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## [$AcWing$ $3$. 完全背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/3/)
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### 一、题目描述
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有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有 **无限件** 可用。
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第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
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求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
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输出最大价值。
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**输入格式**
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第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
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接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大价值。
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**数据范围**
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$0<N,V≤1000$
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$0<v_i,w_i≤1000$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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4 5
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1 2
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2 4
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3 4
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4 5
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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10
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```
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### 二、完全背包
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**状态表示：$f(i,j)$**
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集合： $i$是指在前$i$个物品中进行选择，$j$是指在总体积不超过$j$的容量下进行选择。
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属性： 求一个最大值。 因为按上面的集合进行选择，每选择一次，就会出现一个结果，我们想求的是这些结果中的最大值。
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**状态计算**
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与$01$背包不一样，$01$背包是每一个物品选与不选，完全背包不是这个意思。是可以不选，选择$1$个，或者选择多个。
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<font color='red' size=4><b>第$i$个物品，我们可以选择，也可以放弃，放弃了自然就是$f[i-1][j]$,这个没什么好讲。
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如果我们选择了$i$物品，肯定要带上它的价值$v_i$,而承担它的重量$w_i$,
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完成了选择它以后，我们接下来可以在前多少个物品中选呢？其实，还是$i$个，因为每种物品的数量无限啊！所以，选完了$i$,剩余的表示还是:$f[i][j-v_i]$。
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</b></font>
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**总结一下**
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二维情况下的状态转移方程
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$\ 01$背包 ： $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i)$
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完全背包： $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v_i]+w_i)$
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这样，再用二维降一维的思路来思考，就得到了完全背包的终极解法：
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```cpp {.line-numbers}
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for (int i = 1; i <= n; i ++ )
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for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
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f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
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```
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### 三、二维写法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int f[N][N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v, w;
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cin >> v >> w;
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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f[i][j] = f[i - 1][j];
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if (j >= v)
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
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}
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}
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printf("%d\n", f[n][m]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、一维解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int f[N];
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// 完全背包问题
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v, w;
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cin >> v >> w;
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for (int j = v; j <= m; j++)
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f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
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}
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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### 五、思考
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为什么$01$背包要倒着推，完全背包要顺着推
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[https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7782700.html](https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7782700.html) |