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##AcWing 423. 采药

一、题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。

为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式 输入文件的第一行有两个整数 T 和 $M$，用一个空格隔开，T 代表总共能够用来采药的时间，M 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 M 行每行包括两个在 1 到 100 之间（包括 1 和 $100$）的整数，分别表示 采摘某株草药的时间 和 这株草药的价值。

输出格式 输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围 1≤T≤1000,$1≤M≤100$

输入样例：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例：

3

二、题目解析

01背包模型

状态表示

f(i,j)

• 集合 考虑前 i 个物品，且当前已使用体积为 j 的方案
• 属性 该方案的价值为最大值 max

状态转移$f(i,j)$：

$$f(i,j)=\begin{equation} \left{ \begin{array}{lr} 不选第i个物品: f(i-1,j) & \ 选第i个物品: max{f(i,j),f(i-1,j-w_i)+v_i}\ \end{array} \right. \end{equation}$$

初始状态：f[0][0]

目标状态：f[n][m]

集合划分

三、二维朴素作法

时间复杂度：O(n×m)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][M];

int main() {
    cin >> m >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选
            if (j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选
        }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}

四、一维优化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    // 01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}