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##[$AcWing$ $423$. 采药](https://www.acwing.com/problem/content/425/)
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### 一、题目描述
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辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
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为此，他想拜附近最有威望的医师为师。
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医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
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医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以**让采到的草药的总价值最大**。”
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如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
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**输入格式**
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输入文件的第一行有两个整数 $T$ 和 $M$，用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。
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接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示 **采摘某株草药的时间** 和 **这株草药的价值**。
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**输出格式**
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输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
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**数据范围**
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$1≤T≤1000$,$1≤M≤100$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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70 3
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71 100
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69 1
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1 2
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3
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```
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### 二、题目解析
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**01背包模型**
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**状态表示**
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$f(i,j)$
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- **集合**
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考虑前 $i$ 个物品，且当前已使用体积为$ j$ 的方案
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- **属性**
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该方案的价值为最大值 $max$
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**状态转移$f(i,j)$**：
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$$f(i,j)=\begin{equation}
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\left\{
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\begin{array}{lr}
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不选第i个物品: f(i-1,j) & \\
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选第i个物品: max\{f(i,j),f(i-1,j-w_i)+v_i\}\\
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\end{array}
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\right.
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\end{equation}$$
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初始状态：`f[0][0]`
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目标状态：`f[n][m]`
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**集合划分**
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/10/55909_2253c174c9-IMG_BC60906447BB-1.jpeg'></center>
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### 三、二维朴素作法
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时间复杂度：$O(n×m)$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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const int M = 1010;
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int n, m;
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int w[N], v[N];
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int f[N][M];
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int main() {
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cin >> m >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选
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if (j >= v[i])
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选
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}
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printf("%d\n", f[n][m]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、一维优化
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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int v[N], w[N];
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int f[N];
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int main() {
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cin >> m >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
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// 01背包模板
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = m; j >= v[i]; j--)
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f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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``` |