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##AcWing 8. 二维费用的背包问题

一、题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 $M$。

每件物品只能用一次。体积是 $v_i$，重量是 $m_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式 第一行三个整数，$N,V,M$，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N 行，每行三个整数 $v_i,m_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式 输出一个整数，表示最大价值。

数据范围 0<N≤1000,0<V,M≤100,0<v_i,m_i≤100,0<w_i≤1000

输入样例

4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6

输出样例：

8

二、分析

每件物品只能 用一次 因此是个 01背包模型

费用一共有两个，一个是 体积，一个是 重量，因此是个 01背包二维费用问题

本题是一道裸题，直接上 闫氏DP分析法

闫氏DP分析法

初始状态：f[0][0][0]

目标状态：f[n][V][M]

状态转移方程:

• 当剩余的空间$j$不能装下当前物品i,即$j<v_1$时不能选择$i$物品。 f[i,j,k]=f[i−1,j,k]

• 当剩余的重量$k$不能装下当前物品i,即$k<v_2$时不有选择$i$物品。 f[i,j,k]=f[i−1,j,k]

• 当$j>=v_1&&k>=v_2$时，可以选择要i,还是不要$i$。

  • 不要i:$f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$
  • 要i:$f[i,j,k]=f[i−1,j−v_1,k−v_2]+w$

三、三维数组解朴素解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n;
int m1, m2;
int f[N][M][M];

int main() {
    cin >> n >> m1 >> m2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;
        for (int j = 0; j <= m1; j++)
            for (int k = 0; k <= m2; k++) {
                f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                if (j >= v1 && k >= v2)
                    f[i][j][k] = max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - v1][k - v2] + w);
            }
    }
    printf("%d", f[n][m1][m2]);
    return 0;
}

四、二维数组空间优化解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n;
int m1, m2;
int f[M][M];

int main() {
    cin >> n >> m1 >> m2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;

        for (int j = m1; j >= v1; j--)
            for (int k = m2; k >= v2; k--)
                f[j][k] = max(f[j - v1][k - v2] + w, f[j][k]);
    }
    printf("%d\n", f[m1][m2]);
    return 0;
}