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一、题目描述
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式 第一行有两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 N 组数据：
每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 S_i 行，每行有两个整数 $v_{ij},w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<S_i≤100
0<v_{ij},w_{ij}≤100
输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8
二、解题思路
直接上 分组背包 的 闫氏$DP$分析法
初始状态 ：f[0][0]
目标状态 ：f[N][M]
状态表示
f[i][j] 从前 i 组物品中选择且总体积不大于 j 的最大价值
状态转移
针对第 i 组物品，将整个状态划分成 s[i]+1 类：
- ① 第$i$组物品一个都不要：
f[i][j] = f[i-1][j] - ② 选第
i组物品的第一个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v_1]+w_1 - ③ 选第
i组物品的第二个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v_2]+w_2 - ④ 选第
i组物品的第k个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v_k]+w_k - ...
\large f[i][j]=max(f[i][j], f[i-1][j-v_k]+w_k)) \ k \in [0, 1, 2,...,s_i]
初始化
f[0][0\sim m] = 0 表示在选择 0 组物品时对于任何体积来讲，其最大价值均为 0
三、二维数组版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N], v[N][N], w[N][N], s[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> s[i]; // 第i个分组中物品个数
for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
cin >> v[i][j] >> w[i][j]; // 第i个分组中物品的体积和价值
}
for (int i = 1; i <= n; i++) // 每组
for (int j = 0; j <= m; j++) { // 每个合法体积
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 如果一个都不要，那么这一组就相当于白费，给你机会也不中用，继承于i-1
for (int k = 1; k <= s[i]; k++) // 选择第k个
if (j >= v[i][k])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]); // 枚举每一个PK一下大小
}
// 输出打表结果
printf("%d", f[n][m]);
return 0;
}
四、一维数组版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> s[i];
for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = m; j >= 0; j--)
for (int k = 1; k <= s[i]; k++)
if (j >= v[i][k])
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}