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##[$AcWing$ $860$. 染色法判定二分图](https://www.acwing.com/problem/content/description/862/)
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### 一、题目描述
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给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。
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请你判断这个图是否是二分图。
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**输入格式**
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第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
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接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $u$ 和 $v$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条边。
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**输出格式**
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如果给定图是二分图，则输出 `Yes`，否则输出 `No`。
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**数据范围**
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$1≤n,m≤10^5$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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4 4
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1 3
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1 4
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2 3
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2 4
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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Yes
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```
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### 二、二分图的概念
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二分图,是图论中的一种特殊模型，设$G=(V,E)$是一个无向图，如果顶点$V$可分割为 **两个互不相交的子集** $(A,B)$，并且同一集合中不同的两点没有边相连,就是二分图。
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**举个栗子吧：**
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这是不是二分图？
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反正我第一次看觉得不是。其实，是的，他是二分图，尽管看上去是连着的。
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若我们将图中的一些边转一下，变成：
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这就是一个明显的二分图。**集合A与B中的点互不相连!**。
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只要两个点之间有边，那么这两个点就不能同属一个集合，必须分在两边。
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### 三、二分图的几个性质
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* **二分图不一定是连通图**
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* **一定不含有奇数环，可以包含长度为偶数的环**
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* **任何无回路的图均是二分图**
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### 四、$DFS$实现
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染色法是判断二分图的办法：
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 100010, M = N << 1;
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int n, m;
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int color[N];
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// 邻接表
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int e[M], h[N], idx, ne[M];
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void add(int a, int b) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
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}
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// u:点 c:颜色值
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bool dfs(int u, int c) {
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color[u] = c;
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (!color[v]) { // 没有染色过
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if (!dfs(v, 3 - c)) return 0; // 这个3-c用的太妙了
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} else if (color[v] == c)
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return 0; // 染色冲突
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}
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return 1;
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n >> m;
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while (m--) {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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add(a, b), add(b, a);
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}
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bool flag = 1;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (!color[i]) { // 把当前点染色为1
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if (!dfs(i, 1)) {
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flag = 0;
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break;
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}
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}
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if (flag)
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puts("Yes");
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else
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puts("No");
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return 0;
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}
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```
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### 五、$BFS$实现
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 100010, M = N << 1;
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typedef pair<int, int> PII;
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int n, m;
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int color[N];
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// 邻接表
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int e[M], h[N], idx, ne[M];
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void add(int a, int b) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
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}
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bool bfs(int x) {
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// 假设 1:黑，2：白，这样方便理解一些
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color[x] = 1;
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queue<PII> q;
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q.push({x, 1});
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while (q.size()) {
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PII t = q.front();
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q.pop();
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int u = t.first, c = t.second;
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (!color[v]) {
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color[v] = 3 - c;
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q.push({v, 3 - c});
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} else if (color[v] == c) // 发现冲突
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return 0;
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}
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}
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return 1;
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n >> m;
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int a, b;
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while (m--) {
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cin >> a >> b;
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add(a, b), add(b, a);
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}
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int flag = 1;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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if (!color[i]) {
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if (!bfs(i)) {
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flag = 0;
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break;
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}
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}
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}
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if (flag)
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puts("Yes");
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else
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puts("No");
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return 0;
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}
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```
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