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AcWing 362. 区间

一、题目描述

给定 n 个区间 [$a_i,b_i$] 和 n 个整数 $c_i$。

你需要构造一个整数集合 $Z$，使得 $∀i∈[1,n]$，Z 中满足 a_i≤x≤b_i 的整数 x 不少于 c_i 个。

求这样的整数集合 Z 最少 包含多少个数。

输入格式 第一行包含整数 $n$。

接下来 n 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,c_i$。

输出格式 输出一个整数表示结果。

数据范围 1≤n≤50000, 0≤a_i,b_i≤50000, 0≤c_i≤b_i−a_i+1

输入样例：

5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

输出样例：

6

二、题目解析

本题同样考察差分约束，难点在于想到用 前缀和 的方法去求解。题目中有两个地方可以想到需要使用前缀和:

• 第一个地方是集合$Z$中在$[a_i,b_i]$中的的$x$不少于$c_i$个，要求一个集合在若干个区间中数的个数，最快的方法就是使用前缀和。

• 另一个是只要求集合在给定区间中数的个数不小于$c$，但是这些数的选取并不是唯一的，所以$Z$中具体数的值并不重要，只需要知道在每个区间内$Z$中元素的个数是多少，这里也 暗示了使用前缀和。

设$s[i]$表示集合$Z$中有$s[i]$个元素是在$1$到$i$之间的，则在区间$[a,b]$中就存在$s[b] - s[a - 1]$个集合中的元素。

下面将题目条件 转化为差分约束的条件，

• ① 前缀和中默认的条件：s[i - 1] <= s[i]
• ② 第$i$个元素要么在集合中、要么不在，这意味着$s[i]$至多比$s[i - 1]$多$1$，所以有s[i-1] >= s[i] - 1
• ③ 需要加上题目中的约束条件，在$a$到$b$区间中出现的个数不少于$c$个，即s[b] - s[a - 1] >= c

需要注意的是$a$和$b$的范围是从$0$开始的，为了在区间左端点等于$0$时使用前缀和数组不发生越界，需要将所有的区间均右移一个单位。最多有$50000$左右个点，上面的三类约束条件都可能出现$50000$来次，所以最多有$150000$左右条边。要想求集合中至少包含多少个数，只需要求$s[50001]$的最小值即可（这里向右偏移了$1$个单位，所以是$50001$），求不等式组解的最小值自然是求最长路了。建图时虚拟源点$0$到1,$1$到$2$，...都是有连边的，所以所有的点都是可达的。集合$Z$中最坏情况是包含了$50000$以内所有的点，所以一定是有解的。最后补充一句，这里的前缀和$s[i]$在$spfa$算法中也就是距离数组$d$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 这里也可以把[a,b]区间往右移动一个单位，
// 这样就可以空出来S[0]这个点，作为超级原点
const int N = 50010, M = N * 3 + 10;

int dist[N];
int m; // m个区间，可以理解为m条边
bool st[N];
// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

void spfa() {
    queue<int> q;
    // 求最大路径长度
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist);
    dist[0] = 0;
    st[0] = true;
    q.push(0);

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = false;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dist[v] < dist[u] + w[i]) {
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = true;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);

    /*
    ① s(i)  >= s(i-1) + 0
    ② s(i-1)>= s(i) - 1
    */
    for (int i = 1; i < N; i++) add(i - 1, i, 0), add(i, i - 1, -1);

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        a++, b++;
        add(a - 1, b, c); // s(b) >= s(a-1) + c
    }
    spfa();

    printf("%d\n", dist[50001]);
    return 0;
}