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7.0 KiB
C++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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/* 举栗子：以下面的小方框个数=3为例，其实是模拟了4个点，8条边，也就是(00,01,10,11)->通过尾部加0或加1->构建边->(000,001,010,011,100,101,110,111)-> 去掉头部第1个->(00,01,10,11)
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其中 4=2^2=2(3-1),8=2^3,推广一下，如果下面的小方框个数是n,点数2^(n-1),边是2^n=[0000...0,1111...1]条
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题目中要求1<=N<=15,那么我们加大一点范围，就让N=16,但是，由于此时N的含义是边的个数，也就是M=N*2，下面的代码，含糊了N和M的概念，将其都设定为1<<16,这样足够大，并且不超过题目要求
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*/
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const int N = 1 << 16, M = N;
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int len;
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int res[N], rl; // 路径记录器
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int st[N]; // 某条边是不是出现过了
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// 链式前向星
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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// dfs求有向图欧拉回路
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void dfs(int u) {
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for (int i = h[u]; ~i; i = h[u]) {
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h[u] = ne[i]; // 套路式删边，优化性能
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int id = w[i];
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if (st[id]) continue; // 如果id这条边访问过了，那么不需要重复访问
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st[id] = 1; // 标记i号边已访问过
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dfs(e[i]); // 递归搜索v号点
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// cout << "u=" << u << ",v=" << v << ","
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// << "w[i]=" << w[i] << endl;
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res[++rl] = id; // 以边的形式记录欧拉路径,i号索引的这条边，它的真实边号为w[i]
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}
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}
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int main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("HihoCoder1182.in", "r", stdin);
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#endif
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int n;
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scanf("%d", &n);
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memset(h, -1, sizeof h);
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/*
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len的第一层含义
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一、现在点是10（二进制表示），对应十进制是就是2号点，现在需要它扩展出边来，当然就是100,101
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二、那么，这两条边走向了哪两个节点呢？
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(1)10->加0->生成边-> 100 ->哪个节点?
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(2)10->加1->生成边-> 101 ->哪个节点?
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其实用人眼看是走到了00和01两个点，也就是去掉最前面的那个数字1就行。
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那如何让计算机知道它们走向了哪两个点呢？办法就是取模！就是将边对应的数字对4取模，则最前面的二进制1将被裁掉，只保留最后两位的00和01
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那么，这个4是怎么来的呢？其实就是 1<< (n-1)!
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总结：我们只要对生成的边对应的十进制数字，对 len= 1<<(n-1) 取模，就可以获得到它走向了哪个点ID
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*/
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len = 1 << (n - 1);
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// len的第二层含义：如果点号从0开始计数，那么，最大的点号也是 1<<(n-1),以n=3为例，四个点就是(0,1,2,3),最大点号 3= (1<<(3-1)) -1
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for (int a = 0; a < len; a++) {
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int c = a << 1 | 1; // 点号，左移一位，尾部添1，以10为例，就是变成 100+1=101，这是一个点到边的变换过程,num是指边号对应的十进制数，比如101=5
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int b = c % len; // 再模一下我们精心准备的len,就可以把头部第1位裁掉，得到目标节点号
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add(a, b, c); // 从a点出发，到b点去，通过一条边号为num的边.我们把链式前向星魔改了一下，把边权重定义为边的边号
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c = a << 1; // 点号，左移一位，尾部添0，以10为例，就是变成 100，这是一个点到边的变换过程,num是指边号对应的十进制数，比如100=4
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b = c % len; // 再模一下我们精心准备的len,就可以把头部第1位裁掉，得到目标节点号
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add(a, b, c); // 从a点出发，到b点去，通过一条边号为num的边.我们把链式前向星魔改了一下，把边权重定义为边的边号
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// 上面这段，配置题解中的图进行理解效果更佳！
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}
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/*
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Q:兹鼓欧拉回路,为啥题意这样的东西能和欧拉回路搞在一起，它们之间有什么联系？
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答：根据题解中的图，和上面我们的建边，我们可以理解：所有的点都有两条出边，也都有两条入边！也就是它的出度=2，入度=2
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图是连通的（二进制的性质保证了没有孤立点）,并且,每个点的出度入度都是偶数，都等于2，这恰好是欧拉回路的充要条件！这才是这两个好基友合并的基础！
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既然已经确定题目的类型是欧拉回路，那只要我们求出任意一条欧拉回路就可以了，因为0号点是肯定存在的，（当然，你也可以从任何存在的点号出发，本题说任意一条合理的路径就行）,我们
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从0号点开始搜索，从深搜的dfs(v)后，在循环内记录边即可。
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注意：如果不是记录边，而是记录点的话，需要在深搜dfs(v)后，在循环外记录点才可以，这是差别！
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*/
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dfs(0);
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/* 题目要求：输出 1个长度为2^n的01串，表示一种符合要求的分布方案
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理解：将这个串把顺序一个一个进入下面的小方框，就可以获取到所有的数字组合。
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那与我们已经记录下来的边有什么关系呢？
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以本题的样例答案00010111为例进行解释：(下面的小方框是3个)
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（1）倒数第1位1下来进入小方框，得到001
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（2）倒数第2位1下来进入小方框，得到011
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（3）倒数第3位1下来进入小方框，得到111
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（4）倒数第4位0下面进入小方框，将最前面的1弹出，得到110
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（5）倒数第5位1下面进入小方框，将最前面的1弹出，得到101
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（6）倒数第6位0下面进入小方框，将最前面的1弹出，得到010
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（7）倒数第7位0下面进入小方框，将最前面的0弹出，得到100
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（8）倒数第8位0下面进入小方框，将最前面的0弹出，得到000
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将dfs函数中我注释掉的代码放开，可以得到如下的代码运行结果
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u=2,v=0,w[i]=4 =(100)
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u=3,v=2,w[i]=6 =(110)
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u=3,v=3,w[i]=7 =(111)
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u=1,v=3,w[i]=3 =(011)
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u=2,v=1,w[i]=5 =(101)
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u=1,v=2,w[i]=2 =(010)
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u=0,v=1,w[i]=1 =(001)
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u=0,v=0,w[i]=0 =(000)
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参考答案：00010111
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此时，你会惊奇的发现，只要把得到的结果倒序，并且每次截取最前面一位的数字，拼装起来就是参考答案!
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Q：为什么会有这么神奇的现象呢？
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答：因为是队首出列啊，所以，对于每个路径，当然是只取最前面的那一位了！
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也就是把序列倒序来看，
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000->被顶出去->0
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001->被顶出去->0
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010->被顶出去->0
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101->被顶出去->1
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011->被顶出去->0
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111->被顶出去->1
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110->被顶出去->1
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100->被顶出去->1
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Q:怎么样能截取最前面的第一位呢？就不再是取模了，而用除法啦！
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res[i]/len就是答案！其中len=4,也就是去掉最后两位的意思！
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*/
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for (int i = rl; i; i--) printf("%d", res[i] / len);
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return 0;
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}
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