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##[$AcWing$ $838$. 堆排序](https://www.acwing.com/problem/content/840/)
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### 一、题目描述
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输入一个长度为 $n$ 的整数数列，从小到大输出前 $m$ 小的数。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$ 和 $m$。
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第二行包含 $n$ 个整数，表示整数数列。
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**输出格式**
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共一行，包含 $m$ 个整数，表示整数数列中前 $m$ 小的数。
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**数据范围**
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$1≤m≤n≤10^5$
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，
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$1≤数列中元素≤10^9$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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5 3
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4 5 1 3 2
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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1 2 3
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```
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### 二、堆的数据结构
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**堆是一个完全二叉树**:除了最后一层结点以外，上面的每一层都是满的。最后一层的结点是从左到右排布的。
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**小根堆**：每一个点都是小于左右儿子的,所以根节点就是树中最小值.或者叫**小顶堆**。(**递归定义**)
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**存储方式**：全新的存储方式，用**一维数组**来存。因为是完全二叉树，所有数据的下标是有规则可以找到的。
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位置$x$, 左儿子$2x$ , 右儿子$2x+1$
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下标是从$1$开始的，从$0$开始不方便，因为$2x$还是自己没法玩。
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### 三、堆操作的基本方法
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* $down(x)$ 往下调整
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比如现在堆已经维护好了，我们要把头结点的值
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```c++
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1
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3 4
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3 5 4 5
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```
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假设把头结点值换一下，换成6，
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```c++
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6
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3 4
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3 5 4 5
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```
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现在就不是一个小顶堆了，因为$6$不比$3，4$小啊，所以需要对$6$进行调整，向下移动。
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在$3，4，6$中找到一个最小值，然后交换$3，6$ （$down$操作时，如果当前结点大于左右儿子，与左右儿子中小的进行交换）
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```c++
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3
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6 4
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3 5 4 5
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```
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然后继续在$6,3,5$中找最小值，继续交换$3,6$
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```c++
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3
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3 4
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6 5 4 5
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```
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$OK$,移动完毕！
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* $up(x)$ 往上调整
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比如现在堆已经维护好了，我们把$5$修改为$2$
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```c++
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3
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3 4
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3 5 4 2
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```
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就需要找出$4,2$ ，交换$4,2$ （与父结点对比，如果比父结点小，则交换自己与父结点）
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```c++
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3
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3 2
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3 5 4 4
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```
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继续查询$3，2$，发现在$2<3$,继续交换
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```c++
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2
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3 3
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3 5 4 4
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```
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不再交换，$OK$，移动完毕。
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### 四、手写一个堆（小根堆）
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#### 1、插入一个数
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```cpp {.line-numbers}
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heap[++sz]=x; //在一维数组最后一个位置填充x
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up(sz); //将最后一个元素不断上移
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```
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#### 2、求最小值
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```cpp {.line-numbers}
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heap[1]
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```
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#### 3、删除最小值
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```cpp {.line-numbers}
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heap[1]=heap[sz--]; //就是把尾部最后一个元素替换掉头元素，然后sz--
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down(1); //然后再down(1)就行了
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```
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#### 4、删除任意一个元素
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```cpp {.line-numbers}
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heap[k]=heap[sz--];
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down(k);
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up(k); //其实只能执行一个，因为大了向下走。小了向上走嘛
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```
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#### 5、修改任意一个元素
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```cpp {.line-numbers}
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heap[k]=x;
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down(k);
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up(k);
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```
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两个基本操作,这两个操作结合起来就能完成上面五个操作。
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$down(x)$ ---> 向下调整
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$up(x)$ ---> 向上调整
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### 五、如何高效创建堆
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### 六、完整代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e5 + 10;
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int n, m;
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int sz;
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int heap[N];
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void down(int u) {
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int t = u;
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if (u * 2 <= sz && heap[u * 2] < heap[t])t = u * 2;
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if (u * 2 + 1 <= sz && heap[u * 2 + 1] < heap[t])t = u * 2 + 1;
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if (u != t) {
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swap(heap[u], heap[t]);
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down(t);
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}
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}
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void up(int u) {
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while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u]) {
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swap(heap[u / 2], heap[u]);
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u /= 2;
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}
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}
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> heap[i];
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sz = n;
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for (int i = n / 2; i >= 1; i--) down(i);
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while (m--) {
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printf("%d ", heap[1]);
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heap[1] = heap[sz--];
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down(1);
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}
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return 0;
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}
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``` |