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一、题目描述
一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：$n=n_1+n_2+…+n_k$，其中 $n_1≥n_2≥…≥n_k,k≥1$。
我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。
现在给定一个正整数 $n$，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。
输入格式 共一行，包含一个整数 $n$。
输出格式 共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
由于答案可能很大，输出结果请对 10^9+7 取模。
数据范围
1≤n≤1000
输入样例:
5
输出样例：
7
二、解题思路
把整数$n$看成一个容量为$n$的背包，有$n$种物品，物品的体积分别是1-n,我们要求的是 恰好 装满背包的方案数(计数)，每种物品 可以用无限次，所以可以看成是一个完全背包。
先考虑二维的状态描述方法：
$f[i,j]$：从前$i$中选，总和是$j$的选法,值就是方案数量。
-
第$i$个物品选择了$0$个 表达式：
f[i-1,j]，含义：在前$i$个物品中选择，结果现在第$i$个物品选择了$0$个，就是说这$j$个体积都是前$i-1$贡献的。 -
第$i$个物品选择了$1$个 表达式：
f[i-1,j-1 * i]含义：在前$i$个物品中选择，结果现在第$i$个物品选择了$1$个，就是说这j-1*i个体积都是前$i-1$贡献的。 -
第$i$个物品选择了2个
f[i-1,j-2*i]
...
- 第$i$个物品选择了s个
f[i-1,j-s*i]
初值问题
求最大值时，当都不选时，价值显然是 $0$。
求方案数时，当都不选时，方案数是 1
即：
for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0] = 1;
二、二维代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n;
int f[N][N];
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举每个物品，物品的序号与物品的体积是相等的，都是i
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 枚举背包容量j
if (j >= i) // ① 背包容量j>=当前体积i,可以选择当前数字
f[i][j] = (f[i][j - i] + f[i - 1][j]) % MOD;
else
f[i][j] = f[i - 1][j] % MOD; // ② 放弃当前数字
}
cout << f[n][n] << endl;
return 0;
}
三、一维代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int f[N];
int n;
int main() {
cin >> n;
f[0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i; j <= n; j++) // 完全背包从小到大
f[j] = (f[j] + f[j - i]) % MOD;
cout << f[n] << endl;
return 0;
}