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## [$AcWing$ $3549$. 最长非递减子序列 ](https://www.acwing.com/problem/content/description/3552/)
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### 一、题目描述
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给定一个长度为 $n$ 的数字序列 $a_1,a_2,…,a_n$，序列中只包含数字 $1$ 和 $2$。
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现在，你要选取一个区间 $[l,r](1≤l≤r≤n)$，将 $a_l,a_{l+1},…,a_r$ 进行翻转，并且使得到的新数字序列 $a$ 的最长非递减子序列的长度尽可能长。
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请问，这个最大可能长度是多少？
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一个非递减子序列是指一个索引为 $p_1,p_2,…,p_k$的序列，满足 $p_1<p_2<…<p_k$ 并且 $a_{p1}≤a_{p2}≤…≤a_{pk}$，其长度为 $k$。
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**输入格式**
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第一行一个整数 $n$。
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第二行 $n$个空格隔开的数字 $1$ 或 $2$，表示 $a_1,…,a_n$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示得到的新数字序列 $a$ 的最长非递减子序列的最大可能长度。
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**数据范围**
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对于 $30\%$ 的数据，$1≤n≤100$。
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对于 $100\%$ 的数据，$1≤n≤106$。
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本题读入数据规模较大，需注意优化读入。
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$C++$ 尽量使用 $scanf$ 读入，$Java$ 尽量使用 $BufferedReader$ 读入。
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**输入样例**$1$：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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1 2 1 2
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```
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**输出样例1**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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**输入样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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10
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1 1 2 2 2 1 1 2 2 1
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```
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**输出样例2**：
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```cpp {.line-numbers}
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9
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```
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### 二、从简化题目出发（求只含12的序列长度）
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首先我是考虑的求出该序列的最长非递减子序列
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其实只有 $2$ 种状态
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- $1111111$…
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只可能由 $111111$… 这种状态转移而来
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- $111111112222222222$…
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可能由 $11111111$… 转移而来
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也可能由 $111112222$… 转移而来
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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int s1 = 0, s2 = 0;
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while (n--) {
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int x;
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cin >> x;
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if (x == 1) {
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s1++; // 如果当前数字是 1，则状态1的长度加1
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} else {
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s2 = max(s1 + 1, s2 + 1); // 如果当前数字为2，可能由两种状态转移而来
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}
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}
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cout << max(s1, s2) << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 三、回归题目（包括反转）
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对于本题目而言，比上述的简单模型多加了一个条件：可以进行反转操作。
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这就意味着，我们可以求一个形如：$111111222222111111222222$的子序列，然后进行反转操作让其变成 $1111111112222222$…的子序列
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现在我们开始枚举状态：
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- $1111111$....
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只能通过 $111111$…转移
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- $(111111)2…$
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可以通过 $1111111$… 转移（仅限于转移到 $111111111111..2$ 这种状态）
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也可通过 $(11111)2222222$…转移
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- $(111111122222)11111$…
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可以通过 $11111111222222$… 转移（仅限于转移到 $11111112222222..1$ 状态）
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也可以通过 $(111111122222)11111$…转移
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- $(111111122222221111111)22222$…
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- 可以通过 $(111112222)111$… 转移（仅限于转移到 $1111222222111111..2$ 状态）
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- 也可以通过 $(111111122222221111111)22222$… 转移
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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int main() {
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// 加快读入
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ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
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int s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0;
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int n;
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cin >> n;
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while (n--) {
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int x;
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cin >> x;
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if (x == 1) {
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s1++;
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s3 = max(s2 + 1, s3 + 1);
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} else {
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s2 = max(s1 + 1, s2 + 1);
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s4 = max(s3 + 1, s4 + 1);
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}
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}
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cout << max({s1, s2, s3, s4}) << endl;
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return 0;
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}
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``` |