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初等数论--同余方程--二元一次不定方程的通解形式

• 不定方程：变量个数>方程个数

若二元一次不定方程$ax + by = n$有解，$x_0, y_0$为它的一组整数解，则通解为：

$$\large \left{\begin{matrix} x=x_0 + \frac{b}{(a,b)} \cdot t\ y=y_0-\frac{a}{(a,b)}\cdot t \end{matrix}\right. \ \ \ \ t \in Z

​
证明：
* **该形式确实是二元一次方程的解**
  将$x,y$代入原方程，得：
  $\large \displaystyle a(x_0+\frac{b}{(a,b)}\cdot t) + b(y_0-\frac{a}{(a,b)}\cdot t)$
  $\large \displaystyle =ax_0+a\frac{b}{(a,b)}\cdot t + by_0-b\frac{a}{(a,b)}\cdot t$
  $\large \displaystyle =ax_0+by_0$
  $\large \displaystyle =n$

* **二元一次不定方程的解都可以表达成这种形式**
  已知
  $$\large 
  \left\{\begin{matrix}
  ax+by=n
  \\ 
  ax_0+by_0=n
  \end{matrix}\right.

联立方程，相减得：

\large a(x-x_0)+b(y-y_0)=0 \large a(x-x_0)=-b(y-y_0) \large \frac{a}{(a,b)}(x-x_0)=-\frac{b}{(a,b)}(y-y_0) \large \because \frac{a}{(a,b)}\nmid \frac{b}{(a,b)}

且

\large \frac{b}{(a,b)} | \frac{a}{(a,b)}(x-x_0) \large \therefore \frac{b}{(a,b)} | x-x_0

即

\large x-x_0=\frac{b}{(a,b)}\cdot t

同理,$\large \displaystyle \frac{a}{(a,b)}|y-y_0$,即

\large y-y_0=-\frac{a}{(a,b)}\cdot t \huge Q.E.D