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## [$AcWing$ $345$ 牛站](https://www.acwing.com/problem/content/347/)
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### 一、题目描述
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给定一张由 $T$ 条边构成的无向图，点的编号为 $1$∼$1000$ 之间的整数。
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求从起点 $S$ 到终点 $E$ **恰好** 经过 $N$ 条边（**可以重复经过**）的 **最短路**。
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注意: 数据保证一定有解
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**输入格式**
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第 $1$ 行：包含四个整数 $N$，$T$，$S$，$E$。
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第 $2..T+1$ 行：每行包含三个整数，描述一条边的边长以及构成边的两个点的编号。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最短路的长度
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**数据范围**
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$2≤T≤100,2≤N≤10^6$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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2 6 6 4
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11 4 6
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4 4 8
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8 4 9
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6 6 8
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2 6 9
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3 8 9
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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10
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```
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### 二、前导知识
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> * **图中任意两点间路径数量**
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[$VUA$~$125$ $Numbering$ $Paths$](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16846789.html)
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> * **图中两点路径为$k$的方案数**
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[$P4159$ [$SCOI2009$] 迷路](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16850595.html) 这道题放这不太合适，因为还有拆点，有点难度~
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### 三、题目解析
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本题并不是让我们求路径的条数，而是求 **在路径条数限定的情况下，求最短路径长度**
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#### 1. $(i,j)$之间两条边
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设$g$是图的邻接矩阵，**$i$,$j$两个点，如果之间有两条边，那么中间必然只有一个点**，设为$k$,$k$的范围是$ \in [1,n]$:
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<b>状态表示</b>
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$t[i][j]$:从$i$恰好经过 **两条边** 到达$j$的 **最短路径长度**
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**状态计算**
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$$\large t[i][j] = min(g[i][k] + g[k][j])\ k \in [1,n]$$
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那么求两点之间插入第三个点的最短路径代码为：
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```cpp {.line-numbers}
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for(int k = 1;k <= n;k++)
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for(int i = 1;i <= n;i++)
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for(int j = 1;j <= n;j++)
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t[i][j] = min(t[i][j],g[i][k] + g[k][j]);
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```
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这被称作：**广义矩阵乘法**
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下面的转化需要一点 **矩阵乘法** 的知识：
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**矩阵乘法栗子**：
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令矩阵 $a$ 为一个 $2 × 2$ 的矩阵：
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```cpp {.line-numbers}
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a = [ 2, 3 ]
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[ 4, 1 ]
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```
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令矩阵 $b$ 为一个 $2 × 3$ 的矩阵：
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```cpp {.line-numbers}
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b = [ 5, 1, 2 ]
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[ 2, 3, 4 ]
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```
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求解 $a × b$：
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设$t = a × b$
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矩阵 $t$ 的维度为 $2 × 3$。
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```cpp {.line-numbers}
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t = [ (2×5 + 3×2), (2×1 + 3×3), (2×2 + 3×4) ]
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[ (4×5 + 1×2), (4×1 + 1×3), (4×2 + 1×4) ]
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```
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> **注**：运算规则就是$a$矩阵第$1$行的所有数据，**对应**，乘以$b$矩阵第$1$列的所的数据，**累加和** 放到$t$矩阵的第$1$行第$1$列中去，其它以此类推。
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所以，得到的结果矩阵 $t$ 为：
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```cpp {.line-numbers}
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t = [ 14, 11, 14 ]
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[ 22, 7, 12 ]
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```
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矩阵乘法 **模板** 如下：
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```cpp {.line-numbers}
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for (int k = 1; k <= COLS_A; k++)
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for (int i = 1; i <= ROWS_A; i++)
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for (int j = 1; j <= COLS_B; j++)
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t[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
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```
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上面的最基本的矩阵乘法，现在，我们改一下需求，不再求$sum$叠加和，而是想求一下$min(a[i][k]+b[k][j])$,然后把这个最小值放到$t[i][j]$里，其实也是一样的道理，这被我们称为 **广义矩阵乘法**,代码就是：
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```cpp {.line-numbers}
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for(int k = 1;k <= n;k++)
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for(int i = 1;i <= n;i++)
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for(int j = 1;j <= n;j++)
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t[i][j] = min(t[i][j],g[i][k] + g[k][j]);
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```
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我们 **惊喜** 的发现，这个代码与上面两点间插入第三个点求最短路径的代码是一模一样的，也就是说，我们可以理解为$t[i][j]$可以通过 **类似于** 乘以矩阵$g[][]$来达到求两点之间插入第三个点获取最短路径。
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此时$a[i][k]->g[i][k],b[k][j]->g[k][j]$,噢，这里的$a[][],b[][]$都是$g[][]$,就是$g^2$啊！
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<font color='red' size=4><b>结论：
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1、两边条，加一个点，乘$g^2$
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2、三边条，加两个点，乘$g^3$
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...
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</b></font>
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#### 2.$(i,j)$之间大于两条边
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#### 快速幂对广义矩阵乘法的优化
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广义矩阵乘法可以求$i$经过 **两条边** 到达$j$的 **最短路径** 长度，则对$g$做$k$次 **自乘** 就可以求经过$k$条边的 **最短路径** 长度了。
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```cpp {.line-numbers}
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void mul(int a[][N],int b[][N]){
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int t[N][N];
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memset(t,0x3f,sizeof t); //预求最小，先设最大
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for(int k = 1;k <= n;k++)
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for(int i = 1;i <= n;i++)
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for(int j = 1;j <= n;j++)
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t[i][j] = min(t[i][j],a[i][k] + b[k][j]);
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// sizeof 不能在此处使用，因为a数组其实是指针传入，无法获取大小
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// 有两个办法可以解决:
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// (1)采用全局的sizeof t进行替代 (简单)
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// (2)在函数中增加大小这样一个参数，由调用者赋值传入 (麻烦)
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memcpy(a,t,sizeof t);
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}
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void qmi(){
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memcpy(f,g,sizeof f);
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k--;
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while(k){
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if(k & 1) mul(f,g);
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mul(g,g);
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k >>= 1;
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}
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}
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```
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#### 3. 离散化<font color='red' size=4><b>
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值得注意的是点的编号最大是`1000`，最多只有`100`条边，也就是最多`200`个节点，需要对节点编号做 **离散化**。</b></font>
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> **解释**：$Floyd$算法复杂度$O(N^3)$，如果$N=1000$，妥妥的会挂啊！
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### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 205;
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unordered_map<int, int> id;
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int s, e; //起点 终点
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int n, m; //离散化后的节点号 m条边
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int k; //恰好k条边
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int g[N][N]; //图
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int f[N][N]; //最短距离
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//矩阵乘法
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void mul(int a[][N], int b[][N]) {
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int t[N][N];
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memset(t, 0x3f, sizeof t);
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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//求指定边数情况下的最短距离
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//广义上的矩阵乘法
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t[i][j] = min(t[i][j], a[i][k] + b[k][j]);
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memcpy(a, t, sizeof t);
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}
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//快速幂
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void qmi() {
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// 写法1:使用一个空的矩阵，需要执行k次幂
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// memset(f, 0x3f, sizeof f);
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// for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i] = 0;
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//写法2,使用一个拷贝矩阵，需要执行k-1次幂
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memcpy(f, g, sizeof f);
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k--;
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while (k) {
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if (k & 1) mul(f, g); //矩阵快速幂
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mul(g, g);
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k >>= 1;
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}
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}
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// AC 481 ms
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// 这个速度真是很牛X
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int main() {
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scanf("%d %d %d %d", &k, &m, &s, &e);
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//起点的离散化后号为1
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id[s] = ++n;
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//如果e与s不同，那么e的新号为2,否则为1
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if (!id.count(e)) id[e] = ++n;
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//重新对s和e给定新的号码
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s = id[s], e = id[e];
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//初始化邻接矩阵
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memset(g, 0x3f, sizeof g);
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while (m--) {
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int a, b, c;
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scanf("%d %d %d", &c, &a, &b);
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if (!id.count(a)) id[a] = ++n; //记录点的映射关系a-> id[a]
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if (!id.count(b)) id[b] = ++n; //记录点的映射关系b-> id[b]
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a = id[a], b = id[b]; //对a,b给定新的号码
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//利用新的号码将边长c记录到邻接矩阵中
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g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
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}
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//快速幂+动态规划思想
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qmi();
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//输出从起点到终点，恰好经过k条边的最短路径
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printf("%d\n", f[s][e]);
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return 0;
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}
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``` |