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AcWing 903. 昂贵的聘礼
一、题目描述
年轻的探险家来到了一个印第安部落里。
在那里他和酋长的女儿相爱了，于是便向酋长去求亲。
酋长要他用 10000 个金币作为聘礼才答应把女儿嫁给他。
探险家拿不出这么多金币，便请求酋长降低要求。
酋长说：嗯，如果你能够替我弄到大祭司的皮袄，我可以只要 8000 金币。如果你能够弄来他的水晶球，那么只要 5000 金币就行了。
探险家就跑到大祭司那里，向他要求皮袄或水晶球，大祭司要他用金币来换，或者替他弄来其他的东西，他可以降低价格。
探险家于是又跑到其他地方，其他人也提出了类似的要求，或者直接用金币换，或者找到其他东西就可以降低价格。
不过探险家没必要用多样东西去换一样东西，因为不会得到更低的价格。
探险家现在很需要你的帮忙，让他 用最少的金币娶到自己的心上人。
另外他要告诉你的是，在这个部落里，等级观念十分森严。
地位差距超过一定限制的两个人之间不会进行任何形式的直接接触，包括交易。
他是一个外来人，所以可以不受这些限制。
但是如果他和某个地位较低的人进行了交易，地位较高的的人不会再和他交易，他们认为这样等于是间接接触，反过来也一样。
因此你需要在考虑所有的情况以后给他提供一个最好的方案。
为了方便起见，我们把所有的物品从 1 开始进行编号，酋长的允诺也看作一个物品，并且编号总是 $1$。
每个物品都有对应的价格 $P$，主人的地位等级 $L$，以及一系列的替代品 T_i 和该替代品所对应的 优惠 $V_i$。
如果两人地位等级差距超过了 $M$，就不能 间接交易。
你必须根据这些数据来计算出探险家 最少需要多少金币才能娶到酋长的女儿。
输入格式 输入第一行是两个整数 $M，N$，依次表示地位 等级差距限制 和 物品的总数。
接下来按照编号从小到大依次给出了 N 个物品的描述。
每个物品的描述开头是三个非负整数 $P、L、X$，依次表示该物品的 价格、主人的 地位等级 和 替代品总数。
接下来 X 行每行包括两个整数 T 和 $V$，分别表示 替代品的编号 和 优惠价格。
输出格式 输出最少需要的金币数。
二、题目解析
测试样例理解
//测试用例解释
//等级差距限制 和 物品的总数
1 4
//1号物品，3级，有2个可替代品
10000 3 2
2 8000 //替代品的编号:2,优惠价格:8000
3 5000 //替代品的编号:3,优惠价格:5000
---------------------------------------------
//2号物品，2级，有1个可替代品
1000 2 1
4 200 //替代品的编号:5,优惠价格:200
---------------------------------------------
//3号物品，2级，有1个替代品
3000 2 1
4 200 //替代品的编号：4，优惠价格:200
---------------------------------------------
//4号物品，2级，有0个替代品
50 2 0
建图方式
假入我们想要$A$物品，而$A$物品的原价是$w_1$元，如果有$B$物品作为交换的话，只需要$c_1$元就可以得到$A$物品，那我们不就相当于$B$物品和$c_1$元可以得到$A$物品,也就是等价于$B$到$A$的路径为$c_1$吗？
那每个物品的原价我们又该怎么处理呢？这里在建图上有一个特殊的技巧：建立一个 超级源点 O!
$O$到每个物品的距离就是物品的原价，而我们需要不断地交换来降低我们想要获得物品的花费，这就是一个最短路问题了。
- 每个点
i的价格 相当于 从点$0$到点i连一条边, 边权 定义为点$i$的价格 - 每个点
i有多个可替代点: 从可替代点 到点i连一条边 - 结果:顶点
0到 顶点1的 最短路
等级限制
-
酋长的女儿肯定是要娶到手的，所有的路径都会汇集在
1号点，也就是说1号点是所有路径中都存在的点 -
假设 $1$号点等级为 $L_1$，则所有最短路的点都必须满足在
[L_1-M,L_1+M]范围内 -
如果只是将
[L_1-M,L_1+M]这个区间作为最后的区间，会存在两个点的等级差超过了M值，不符合题意，所以，这个区间还要继续缩小
依次枚举区间 $[L_1-M,L_1],[L_1-M+1,L_1+1],[L_1-M+2,L_1+2]...[L_1,L_1+M]$，这些小区间内的任意两个点的等级都不会超过 M 值，并且同时保证了 1 号点肯定在区间内。
因此，依次求出每个小区间的最短路，最后再取最小值就是答案
三、Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
const int M = N * N; // 边数最多有n^2,这是顶天设置，此处与传统的题目不，一般的M= N<<1，此题目没有明确给出边数上限，直接认为N^2
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int dis[N]; // 单源最短路径
bool st[N]; // 配合Dijkstra用的是否出队过
int L[N]; // 每个节点的等级
int n, m; // n个物品，m表示等级差距限制
int dijkstra(int l, int r) {
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
memset(st, 0, sizeof st);
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
// 距离，节点号
q.push({0, 0}); // 超级源点
dis[0] = 0;
while (q.size()) {
auto t = q.top();
q.pop();
int u = t.second;
if (st[u]) continue;
st[u] = true;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
// 枚举边时，只处理等级在指定范围内
if (L[v] < l || L[v] > r) continue;
if (dis[v] > dis[u] + w[i]) {
dis[v] = dis[u] + w[i];
q.push({dis[v], v});
}
}
}
return dis[1];
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h); // 初始化邻接表
cin >> m >> n; // m:表示地位等级差距限制，n:物品的总数
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举每个节点
int p, l, cnt; // 价格 等级 替代品数目
cin >> p >> L[i] >> cnt;
add(0, i, p); // 虚拟源点0, 0获取i号物品，需要p这么多的金币
while (cnt--) { // 读入物品i的替代品
int u, v; // 替代品的编号 和 优惠价格
cin >> u >> v; // u:替代品编号，v:收到替代品后的收费价格
add(u, i, v); // 从替代品向可替代品引一条长度为v的边
}
}
// 预求最小，先设最大
int res = INF;
// 枚举区间范围进行多次求最小路径
for (int i = L[1] - m; i <= L[1]; i++)
res = min(res, dijkstra(i, i + m));
// 输出结果
cout << res << endl;
return 0;
}