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##[$AcWing$ $220$. 最大公约数](https://www.acwing.com/problem/content/222/)
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### 一、题目描述
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给定整数 $N$，求 $1≤x,y≤N$ 且 $GCD(x,y)$ **为素数**的 数对$(x,y)$ 有多少对。
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$GCD(x,y)$ 即求 $x，y$ 的最大公约数。
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**输入格式**
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输入一个整数 $N$。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示满足条件的数对数量。
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**数据范围**
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$1≤N≤10^7$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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### 二、解题思路
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最开始读错题，成了: $1<=x,y<=N$,并且$gcd(x,y)=1$有多少数对？
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这不就是在计算$\displaystyle \sum_{i=1}^{N}φ(i)$吗？
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其实本题不是说$gcd(x,y)=1$，而是说$gcd(x,y)=p$,<font color='red'><b>其中$p$是质数</b></font> 。
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#### 1、解读样例
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先来看一下样例：$n=4$时，答案是$4$。
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手动枚举一下：
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$gcd(2,2)=2$,$gcd(3,3)=3$,$gcd(2,4)=2$,$gcd(4,2)=2$
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就这四个，因为只有这几种组合，最大公约数才是质数,组数是$4$组。
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> $gcd(2,3)=1,gcd(3,2)=1,gcd(3,4)=1,gcd(4,3)=1$，结果不是质数而是$1$，不符合要求。
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**可以看得出来**，由这个样例推出：这里$gcd(2,4)=gcd(4,2)=2$被看成了两组，也说是说 **对于不同的$x,y$,视为两组结果**。
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> <font color='red' size=4><b>小结:手动计算一下样例非常重要，可以帮我们更深刻理解题意！</b></font>
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#### 2、推式子
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这是一个**最大公约数的典型转化技巧**：把$p$除过来，形成：
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$$\large gcd(\frac{x}{p},\frac{y}{p})=1$$
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2020/11/23/39715_d94e747e2d-220.PNG'></center>
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为什么要除过来呢？因为$p$的取值是多种多样的，我们不知道$p$具体是什么，如果我们把$p$除过来，是不是就会简化很多呢？其实就是从骨子里想要用欧拉函数解决问题，不搞成和欧拉函数差不多的样子，怎么能用得上人家呢？ **除吧，技巧，背吧，技巧~**
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这是在 **最大公约数中最常见的变化技巧** 之一，后面还有比较难的莫比乌斯变换，以后再讲~
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现在，可以视$\large x'=\frac{x}{p},y'=\frac{y}{p}$,即$gcd(x',y')=1$,这不就用上欧拉函数了吗？只不过数据范围有了变化，变成了$1<=x',y'<=\frac{N}{p}$
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到了这里，$p$是啥呢？它是需要在$1\sim n$之间枚举的每一个质数，用线性筛法求得，然后遍历就可以计算了。
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```cpp {.line-numbers}
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for (int i = 0; i < cnt; i++) {
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int p = primes[i]; //枚举1~n中的所有质数p
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......
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}
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```
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如果$p$被枚举到，比如现在$p=2$,那我们如何来求$gcd(x',y')=1$的数对个数呢？
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**这就是简单的欧拉函数+求和（可以使用前缀和优化）啊~**
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数据范围：$1<=x',y'<=\frac{N}{p}$
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- 像[$AcWing$ $201$ 可见的点](https://www.acwing.com/problem/content/203/)一样，计算出前缀和,可以避免每次重复计算：
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```c++
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//维护前缀和
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for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + phi[i];
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```
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- 这里有一个第一象限$45^。$直线上点的问题，就是$x'=y'$时，分别在下方和上方计算了，需要再减去$1$,比如$(2,2),(2,2)$这是不行的，算重复了，减去$1$个。
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```c++
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res += s[n / p] * 2 - 1; //推导的公式
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```
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$$\sum_{i=1}^N (2 * \sum_{i=1}^{\frac{N}{p}} φ(i)-1 ) $$
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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#define int long long
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#define endl "\n"
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const int N = 1e7 + 10; // 这家伙好大啊
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int s[N];
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// 筛法求欧拉函数值
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int primes[N], cnt;
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bool st[N];
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int phi[N];
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void euler(int n) {
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phi[1] = 1;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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if (!st[i]) {
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primes[cnt++] = i;
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phi[i] = i - 1;
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}
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for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
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st[primes[j] * i] = true;
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if (i % primes[j] == 0) {
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phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
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break;
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}
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phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
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}
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}
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}
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signed main() {
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int n;
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cin >> n;
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// 欧拉函数筛法
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euler(n);
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// 前缀和
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for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + phi[i];
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int res = 0;
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for (int i = 0; i < cnt; i++)
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res += s[n / primes[i]] * 2 - 1; // 推导的公式
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cout << res << endl;
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}
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```
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### 四、答疑解惑
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#### $Q$:为什么$AcWing$ $201$中可以使用$euler(N-1)$,而本题采用的是$euler(n)$呢?我换成$euler(N-1)$发现结果不对啊？
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答：因为本题除了要获取一个$phi$的静态结果数组外，还要用到欧拉函数筛法中的副产品$primes$数组,$cnt$变量。以此来枚举区间内所有的合法质数，对于每个质数范围内，进行求欧拉函数值，整体求和。如果我们也采用的$N-1$做为参数，那么这个$cnt$就被放大了,结果就会有问题，当然，也可以采用判断的办法进行弥补，但那样就有点啰嗦了,性能也下降为$3639 ms$ |