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## 快速幂、龟速乘总结
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### 一、快速幂
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求 $a^b\ mod \ p$ 的结果。
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**$Code$**
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```cpp {.line-numbers}
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// 快速幂(不加mod)
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int qmi(int a, int b) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a;
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b >>= 1;
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a = a * a;
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}
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return res;
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}
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// 快速幂
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int qmi(int a, int b) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = (res * a) % MOD;
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b >>= 1;
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a = a * a % MOD;
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}
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return res;
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}
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```
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**解释一下**：
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假如我们需要计算$2^{10}$,正常的办法是
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```cpp {.line-numbers}
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int s = 1;
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for (int i = 1; i <= 10; i++) s = s * 2;
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cout << s << endl;
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```
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毫无疑问，这个算法是正确的。但它执行的次数是$10$次，有没有什么办法可以优化一下运算次数呢？
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**优化**
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将$10$进行二进制分解$(10)_{10}=(1010)_2$
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这样处理后，从后向前，借助于我们熟悉的数位分离模板，就是遍历二进制的每一位。
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此时，我们发现，最左面的数字$1$，权值是$8$，第三位的数字权值是$2$
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同时，$2^8*2^2=2^{10}$
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为什么会有这么神奇的现象呢？其实就是因为幂运算的性质造成：
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$$\large 2^{10}=2^{8+2}=2^8*2^2$$
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$Q:$为啥非得拆成$8+2$,为啥不拆成$7+3$呢？
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就是因为类似于 **倍增** 的办法在计算中好处理呗！
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$a$在代码中的使命就是：**我不管你用不用的上，反正我每次是翻倍！**
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而枚举$b$的每一个数位，就是看看这个位置上的当前$a$是不是需要乘进来！幂运算的性质成功的把幂与二进制加法结合起来了。
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把倍增的思路$2,4,8,16,32,...$这样长上来的，这是因为
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$2^1*2^1=2^2$
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$2^2*2^2=2^4$
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$2^4*2^4=2^8$
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$2^8*2^8=2^{16}$
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$2^{16}*2^{16}=2^{32}$
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**模板题** : **[$P1226$ 【模板】快速幂||取余运算](https://www.luogu.com.cn/problem/P1226)**
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### 二、龟速乘
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求 $a*b\ mod \ p$ 的结果,$a,b,p$ 都是 $10^{18}$ 级别。
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$Code$
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```cpp {.line-numbers}
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// 龟速乘，快速加
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int qadd(int a, int b) {
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int res = 0;
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while (b) {
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if (b & 1) res = (res + a) % MOD;
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b >>= 1;
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a = (a + a) % MOD;
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}
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return res;
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}
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```
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这东西怎么理解呢？
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**举栗子吧**：
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$5*6_{10}=5*(110)_2$
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最右侧的$0$对就的权值是$5^1=5$ ①
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右侧第二的$1$对就的权值是$5*2=10$ ②
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右侧第三的$1$对就的权值是$10*2=20$ ③
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而$② ③$对应的位置上有数字$1$，有效，$①$无效
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结果就是$10+20=30$ |