1.8 KiB
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一、题目描述
求关于 x 的同余方程 ax≡1~(mod~b) 的 最小正整数解。
输入格式 输入只有一行，包含两个正整数 $a,b$，用一个空格隔开。
输出格式 输出只有一行，包含一个正整数 $x$，表示最小正整数解。
输入数据保证一定有解。
数据范围
2≤a,b≤2×10^9
输入样例
3 10
输出样例
7
样例解读：
3*7\%10=1,此时$7$是最小正整数解
二、解题思路
线性同余方程模板题
因为题目说一定有解。根据裴蜀定理，线性同余方程 $a*x≡b(mod~ m)$有解，当且仅当gcd(a,m)|b 。
回到本题，就是 $gcd(a,b)=1$，对照通用形式$\large ax+my=b$，上面的方程对位改写为 \large ax+by=1
解释:
通用式 a*x≡b(mod~ m) \Leftrightarrow ax+my=b
本题式 a*x≡1~(m od~b) \Leftrightarrow ax+by=1
扩欧解题两步走
- ① 用扩展欧几里得算法求出方程$ax+by=1$的一组解
(x_0,y_0) - ② 将 $x_0
modb$，转移到1\sim b区间内即可
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
signed main() {
int a, b;
cin >> a >> b;
int x, y;
exgcd(a, b, x, y);
cout << (x % b + b) % b << endl;
}