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##[$AcWing$ $1308$. 方程的解](https://www.acwing.com/problem/content/1310/)
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### 一、题目描述
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佳佳碰到了一个难题，请你来帮忙解决。
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对于不定方程 $a_1+a_2+⋯+a_{k−1}+a_k=g(x)$，其中 $k≥1$ 且 $k∈N∗$，$x$ 是正整数，$g(x)=x^x \ mod \ 1000$（即 $x^x$ 除以 $1000$ 的余数），$x,k$ 是给定的数。
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我们要求的是这个不定方程的 **正整数解** 组数。
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举例来说，当 $k=3,x=2$ 时，方程的解分别为：
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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a_1=1\\
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a_2=1 \\
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a_3=2
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\end{matrix}\right.
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\left\{\begin{matrix}
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a_1=1\\
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a_2=2 \\
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a_3=1
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\end{matrix}\right.
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\left\{\begin{matrix}
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a_1=2\\
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a_2=1 \\
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a_3=1
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\end{matrix}\right.
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$$
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**输入格式**
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有且只有一行，为用空格隔开的两个正整数，依次为 $k,x$。
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**输出格式**
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有且只有一行，为方程的正整数解组数。
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**数据范围**
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$1≤k≤100,1≤x<2^{31},k≤g(x)$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3 2
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3
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```
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### 二、隔板法求组合数问题
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考虑问题：$a_1+a_2+…+a_k=n$，要求$a_i(i\in [1,k])$ **都是正整数** , 共有多少种$\{a_1,a_2,…,a_k\}$ 的组合能够满足上述等式。
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#### 隔板法
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- 构造$n$个小球`* * * * * * *`，则$n$个小球共有$n−1$个空隙
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- 每插入一个空隙，从该空隙向左直到遇到第一个板子或左边界为止的这个区间的和，记为该数$a_i$的值
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- 为实现把原区间分成 $k$ 个子区间目标，共需插入$k−1$个板子
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**举栗子**
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$n=7,k=4$时`* *|* *|* *|*`是一种方案，对应了 $\displaystyle
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\left\{\begin{matrix}
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a_1=2 \\
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a_2=2 \\
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a_3=2 \\
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a_4=1
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\end{matrix}\right.
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$
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方案总数=$\large \displaystyle C_{n-1}^{k-1}$
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**代码思路**:
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- 快速幂求$n=x^x$
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- 隔板法求组合数$C_{n−1}^{k−1}$
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**本题答案没有要求取模**，答案上界的极限是$C_{1000-1}^{100-1}$
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根据组合数学公式 $\displaystyle C_n^m=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}
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=\frac{1000!}{100!\cdot 900!} \approx 10^{139} $
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> <font color='red'><b>上面这个精度的估算，可以使用电脑自带的计算器，采用科学型就能计算阶乘了，记得算完第一个除法后按一下确定，$yxc$犯了这个错误~</b></font>
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必爆$int$和$long$ $long$,$\_\_int128$!
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/04/20/61813_9a2a4158a1-image-20210420154118483.png'></center>
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需要 **高精度+递推**,可以视为一个 **模板**
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 150, mod = 1000;
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int k, x;
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int f[1010][110][N];
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// 前两维：组合数C(n-1,k-1),其中n最大值是1000，k最大值是100，还都减了1, 所以这么开就足够大了,再+10肯定够了
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// 第三维: 高精度的结果
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// 快速幂
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int qmi(int a, int b, int p) {
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int res = 1;
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while (b) {
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if (b & 1) res = res * a % p;
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a = a * a % p;
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b >>= 1;
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}
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return res;
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}
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// 因为本题需要计算组合数，就是在(i,j)确定下的第三维数组空间保存结果
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void add(int a[], int b[], int c[]) {
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for (int i = 0, t = 0; i < N; i++) {
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// 开的静态数组 N的长度足够（150是通过calc估算出的139上浮得到的极限值)
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// 不用对比两个高精度的长度，全部当做150极限来看，也没多大
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t += a[i] + b[i];
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c[i] = t % 10;
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t /= 10;
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}
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}
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int main() {
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cin >> k >> x; // k个数字， g(x)=x^x 指引我们使用快速幂
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// 技巧：在求快速幂+模时，时刻注意取模
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// 比如先把底、幂次取模后再计算快速幂
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int n = qmi(x % mod, x % mod, mod);
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// 递推求组合数,一直递推到C(n,k)
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for (int i = 0; i <= n; i++)
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for (int j = 0; j <= min(i, k); j++) // 孙猴子再厉害，也不能翻出如来佛的五指山，k<=i
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if (!j)
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f[i][j][0] = 1; // C(i,0)=1,所以C(i,0)指向的其实是一个一维数组，也就是C(i,0)的高精度结果。此结果=1.按高精度来说，就是a[0]=1
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else
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// C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)
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// 左侧：从i个小球中选择j个小球的方法数
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// 右侧：(1) 不选第1个，那么在剩余i-1个小球中选择j个小球的方法数
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// 右侧：(2) 选择第1个，那么在剩余i-1个小球中选择j-1个小球的方法数
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// 再结合加法原理，即可得到上面的公式，这个公式可以用于递推
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// 这个三维数组+高精度用的漂亮啊！
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// f[][][]是三维数组，f[i - 1][j] 是指在i-1个中选择j个有多少种办法，其实结果是存在第三维中，
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// f[i - 1][j]指向的是一维数组，也就是f[i-1][j]的方法数的高精度结果
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// 理解为add(a[],b[],c[]);也就是简单的高精度加法
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add(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1], f[i][j]);
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// 上面多求了一些数据出来，我们只需要: C(n - 1, k - 1)
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// 将前二维数组简写为g,此处g为一个指针，指向的是f[n-1][k-1]指向的高精度数组对应的一维数组
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int *g = f[n - 1][k - 1];
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int i = N - 1; // 最高位
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while (!g[i]) i--; // 去除前导0
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while (i >= 0) cout << g[i--]; // 倒序输出
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return 0;
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}
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``` |