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AcWing $525$小凯的疑惑
一、题目描述
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。
每种金币小凯都有无数个。
在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。
现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？
注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。
输入格式
输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 $b$，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手中金币的面值。
输出格式 输出文件仅一行，一个正整数 $N$，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
数据范围
1≤a,b≤10^9
输入样例：
3 7
输出样例：
11
二、题目解析
结论：
如果 𝑎,𝑏 均是正整数且互质，那么由 𝑎𝑥+𝑏𝑦,𝑥≥0,𝑦≥0 不能凑出的最大数是 $(a-1)*(b-1)-1$。
证明：
首先证明 𝑎𝑏−𝑎−𝑏 不能被 𝑎𝑥+𝑏𝑥,𝑥≥0,𝑦≥0表示出。
反证法，假设 𝑎𝑏−𝑎−𝑏=𝑎𝑥+𝑏𝑦，那么 𝑎𝑏=𝑎(𝑥+1)+𝑏(𝑦+1)，由于 𝑎|𝑎𝑏,𝑎|𝑎(𝑥+1)，所以 𝑎|𝑏(𝑦+1) ，由于 𝑎,𝑏 互质，所以 𝑎|(𝑦+1)，由于 𝑦≥0，所以 𝑎<=𝑦+1，所以 𝑏(𝑦+1)≥𝑎𝑏。同理可得 𝑎(𝑥+1)≥𝑎𝑏，所以 𝑎(𝑥+1)+𝑏(𝑦+1)≥2𝑎𝑏>𝑎𝑏，矛盾。
证明 𝑎𝑏−𝑎−𝑏+𝑑,𝑑>0 一定可以表示成 𝑎𝑥+𝑏𝑦,𝑥,𝑦≥0 的形式，可以参考这篇博客。
时间复杂度分析 计算 𝑎𝑏−𝑎−𝑏 的时间复杂度是 𝑂(1)。
三、代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main() {
LL a, b;
cin >> a >> b;
cout << (a - 1) * (b - 1) - 1 << endl;
return 0;
}